DP算法入门(2)

线性规划

例题

先看一道 $IOI$ 原题 :

IOI1994数字三角形 Number Triangles–洛谷

具体题目描述见题目

状态表达： $dp[i][j]$ 表示从顶部走到点 $(i,j)$ 经过的数字最大值。

状态转移方程:

$dp[i][j]=max(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])$

初值(边界条件) : $dp[1][1]=a[1][1]$

目标 : $max(dp[n][j])$ $j\in [1,n]$

$DP$ 代码：

#include
using namespace std;
int dp[1024][1024];
int a[1024][1024],m;
int solve_1(int n){
	int ans=0;
	dp[1][1]=a[1][1];
	for(int i=2;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=i;j++)
			dp[i][j]=a[i][j]+max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-1]);
	for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,dp[n][i]);
	return ans;
}
int dp_1[10005];
int solve_2(int n){
	int ans=0;
	dp_1[1]=a[1][1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		for(int j=i;j>=1;j--){
			dp_1[j]=max(dp_1[j],dp_1[j-1])+a[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		ans=max(ans,dp_1[i]);
	}
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			scanf("%d",&a[i][j]);
		}
	}
	printf("%d",solve_2(m));
	return 0;
}

学习秘籍

$(1)$ 为什么这么做?

多想一下

$(2)$ 想不出状态转移方程怎么办？

多问一句

$(3)$ 举一反三，拓展思维

需要有尝试的勇气，打开思维。

最长上升子序列

例题

题目–洛谷

子序列 : 只能从前往后取。

如对这样一个序列 $(1,3,5,9,7,8,4)$

它的子序列就有

$(1,5,9,8,4)$ 当然，这不是上升子序列。

像 $(1,3,5,7,8)$ 这样的子序列才叫上升子序列。

简而言之，就是子序列中的元素必须满足单调递增。

现在给你一个数列，请你输出他的最长的子序列的长度。

输入 :

7
1 7 3 5 9 4 8

输出 :

4

求解过程

$(1)$ 确定状态: $dp[i]$ 表示以 $a[i]$ 结尾的最长上升子序列长度。

$(2)$ 状态转移: 对于 $1\le j<i$ , 若 $a[j]<a[i]$ , 则可以将 $a[i]$ 放在以 $a[i]$ 结尾的最长上升序列后面，得到的长度为$dp[j]+1$ 。

$(3)$ 边界条件: $dp[0]=0$

$(4)$ 求解目标: $max(dp[i])$

状态转移方程:

$dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1),1\le j<i$

时间复杂度 $O(n^2)$

代码实现:

#include
#include
using namespace std;
int len,dp[100005],num[100005],ans;
int main(){
	scanf("%d",&len);
	for(int i=1;i<=len;i++)scanf("%d",&num[i]);
	for(int i=1;i<=len;i++){
		dp[i]=1;
		for(int j=1;j<i;j++){
			if(num[i]>num[j])dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=len;i++)ans=max(ans,dp[i]);
	printf("%d",ans);
	return 0;
}

设置一个辅助数组 $d[len]$

$d$ 数组 表示最长上升子序列，$d[i]$ 表示最长上升子序列的第 $i$ 项。(其实也不一定是,不信你试试)

输入

5
1 8 9 10 2

不过输出到是正确的……

我们要符合这样一个规则:

$1.$ 将 $num[i]$ 和 $d[len]$ 进行比较

$(1)$ 若 $num[i]>d[len]$ 则将 $num[i]$ 放到 $d[len]$ 的后面。

$(2)$ 若 $num[i]<d[len]$ 则将 $num[i]$ 替换为 第一个大于等于 $d[len]$

时间复杂度 $O(nlo{g}_{2}n)$

代码：

#include
using namespace std;
int d[10005],a[10005];
int k,n,maxx,z,len=1;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
	d[1]=a[1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(a[i]==d[len])continue;
		if(a[i]>d[len])d[++len]=a[i];
		else{
			//*表示内容 
			*lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])=a[i];
		}
	}
	printf("%d",len);
	return 0;
}

大家点一下关注吧！也可以点一个免费的赞，谢谢啦！