对于那些过去学过微积分的人，可能会发现我的讲法和大学里完全不同，我并没有强调具体的知识点，而是在改变大家的一种思维方式，从孤立、静止地看待一个个数学定理，做一道道数学题，变成用动态发展的眼光，从趋势来理解世界。这个过程，就是人的认知从初等，到高等的过程。
我回顾自己学习高等数学的道路，发现大家走过的弯路我也都走过，做了很多没必要的数学题。当时苏联吉米多维奇的《数学分析习题集》我大约做了三分之一（这套书里面有4000多道题），考试却不一定能考好。
突然有一天我决定不做了，数学分析考成什么样就是什么样了，这时觉得有一种解脱。腾出时间后，把基本的概念理解清楚，结果成绩也不差。
后来到了研究生时，学了数学系更底层的数学课，发现我过去完全学错了，不是老师内容讲得不对，而是没有学到该学的东西。那些题其实我根本不需要会做，如果将来遇到，要么查参考书，要么用计算机工具解决就可以了。
关键是我在20岁之前，不理解应该用什么样的眼光来认识数学，看待数学里的那些概念和方法。后来当我懂得了高等数学本质上是对趋势的动态描述，是对各种相关性抽象的表述后，再回头看微积分，就觉得容易得不得了了。非常遗憾我在刚上大学时，没有人这么引导我。
数学的世界，在很大程度上可以被看成是我们这个真实世界高度抽象的结果，它的概念是对我们生活中各种对象的浓缩，它的规律是我们生活中很多规律的抽象表述。因此在有了一些生活阅历后，再回过头来看看数学书，我有时会把一些零碎的想法和头绪理清楚。今天我和你分享我的9个体会：
1.有穷和无穷
我们花了不少篇幅在讲无穷大，特别强调在无穷大的世界里，有限生活的不适用。这种感觉有时让我觉得个人的渺小和见识短浅。很多时候，处于很底层的人，是无法理解高层人的想法的。
我们常说“贫穷限制了想象力”，其实贫穷不会限制想象力，贫穷的人可以胡思乱想，但是他们在某一些维度上的经验极少，以至于让人觉得是刘姥姥进大观园。
十年前中国有一本关于罗斯柴尔德家族和美联储的阴谋论的书，我的一些做投资的朋友看了后说，这个作者一定是个穷人，不曾拥有过大钱，不知道世界上的钱放在哪里。
这位作者缺的不是想象力，而是凭空想象的世界完全不靠谱。胡思乱想不会增加自己的智慧，倒是像苏格拉底那样，知道自己的知识有穷尽，而未知世界无穷尽，反而会更接近真理，更容易提高自己的认知。
2.静态和动态
我们的世界需要静态，没有静态的稳定，我们就无法立足。但是，很多时候，我们做事情需要以动态作前提假设，这就如同在足球赛中，除了罚定位球，没有人给你机会站着不动从容射门的。从初等数学到高等数学，就是要把看数学的眼光，从一个个静态的数字、孤立的公式，上升到动态变化的趋势。
比如我们在谈论无穷大这个概念时，我一再强调要把它看成是一个动态的趋势，而不是一个大数。我还特别讲了，x²这个函数，在无穷大的世界里，要比10000x大得多。中国有句话，叫做莫嫌少年贫，其实很有道理，我们看待一个年轻人，要看他成长的趋势，而不是现在有多少钱。
很多人在创业时，喜欢凑热闹，找风口，生怕错过了机会。我对他们讲，如果那个时间窗只有几个月、半年，那根本不是机会，只是一次投机而已。这就是静态地看待时机。真正的大趋势，总是持续十几年甚至几十年，是不容易错过的，几十年复合增长下来，比任何投机获利都大，这就是对动态看世界的人的褒奖。
3.精明与聪明
从静态和动态的关系，让我想到这个话题。
有人觉得数学好的会算账，遇事可以精明不吃亏。但是过分精明的结果就是眼睛都盯在了眼前的利益上，看不到长期的利益，这样反而不聪明了。
比如在投资方面，很多人喜欢寻找低买高卖的机会赚差价，他们有时会得手，但是失手的时候一般比得手更多，更糟糕的是，这些人永远无法把握长期增长的机会。事实上，任何一个向上持续增长的趋势，假以时日，都能涨得很多很快。
4.现实与虚构
数学中很多工具都是建立在世界并不存在的虚构概念之上的，但是，将它们用于现实的社会非常有用，比如说无理数便是如此。人不仅要有形象思维，更要有抽象思维，能够通过抽象思维理解无理数，那么学习物理，做信号处理的工作，搞控制系统，都会很顺手。
人是特别善于创造虚拟概念的物种，我们今天的生活其实离不开各种虚拟物作为实体的媒介。比如说，世界上的财富是真实的，但是度量它们的货币其实是人虚拟出来的。你不可能在买东西时把真实的财富带在身上，大家只把自己在银行账上的钱从一个虚拟的空间搬到另一个去而已。
不仅钱是虚的，很多实实在在的商品虚拟意义也大于实际意义。据估计，个人手里的茅台酒在被喝掉之前，会被当作礼品转手不下十次，它就像数学中那些虚构的概念一样，而不是简单的酒精饮料，没有它们，真实世界的问题就不好解决。
5.攒钱和赚钱
我在《硅谷来信》有一次谈到钱，讲到没有人靠攒钱发财的，发财要靠赚钱。今天攒钱，钱实际上在不断贬值，虽然各国公布的CPI看似并不高，但是CPI并不包括房价的上涨。我们在前面介绍指数函数时讲过，如果每年购买力萎缩10%，用不了几年购买力就少掉一半。
但是，年轻人只要努力，一年收入增长20%，还是能做到的。事实上，在过去的30年里，北京计算机专业毕业生的入职年薪平均每年上涨17%，有经验的优秀从业者后来的增长速度更快。
我们在前面的课程中讲了，往无穷小变化的趋势和往无穷大变化的趋势如果相乘，最后是清零，是常数，还是不断放大，就看谁的阶高了。
通胀、房价上涨等因素都是将财富贬值到无穷小的力量，而且不是人为可控的因素；但是另一方面，收入的增长则是让财富往无穷大增长的力量，对每个人来讲最终就看哪个力量大了。因此，财富靠赚，而不靠攒。
6.直觉和逻辑
我们的直觉常常是对的，但是这只是在我们熟悉或者能够感知到的世界里。世界的很多规律和我们的直觉不一致，比如我们说的芝诺悖论和贝克莱的无穷小悖论，就是因为我们的直觉和无穷小世界里的规律不一致所造成的。
逻辑可以帮助我们分析清楚我们看不到的事情，甚至不存在的事情。在课程中，我们举了伽利略的例子，他之所以认定亚里士多德关于质量重的球先落地是错误的结论，是因为找到了这种说法的逻辑错误。这一类例子，在生活中不胜枚举。
7.概念和表述
今天，交流在我们的生活中占据重要的位置。将一件事情表述清楚非常重要，很多时候，我们需要通过彼此能够理解的形象的比喻来说明，这就如同我们在讲述极限这个概念时用“越来越接近”描述。
但是，在很多场合，这样形象的描述还不够，还需要用极为严格的语言表述，数学的语言是一种，法律的语言也是一种，更普遍地讲，任何专业的术语都是为了这个目的而出现的。做事专业，就需要掌握专业的术语。
8.朋友和理性的对手
很多时候，取得小成就要靠朋友帮忙，但是要取得惊人的成就，就需要一个理性的对手。在数学的发展史上，芝诺、贝克莱，以及后面我们要讲到的罗素，都起到了反角的作用。正是他们给尚未完善的数学体系挑毛病，才让数学体系变得完美。
我们在前面讲到金融危机时，似乎经济学家们没有预警，实际上当所有的人都在赞同同一个想法时，根本无法发现系统中的漏洞。因此，我们在工作中，对于那些理性的对手，即使不喜欢，我们也应该尊重他们的意见，因为那些看似不同的意见，恰恰是我们进步所需要的。
9.荣誉和财富
科学是没有专利可言的，因为科学家们所发现的规律是客观存在的，只是他们发现了而已，因此科学很难直接带来财富。而技术是有专利可言的，因为他们是使用科学改变世界的方法。它们不能混为一谈。
对科学家最大的褒赏是荣誉，因此今天科学家们争的是谁第一个发现某个规律，而不是保守秘密。
我们在前面讲了三次方程解法被发现的故事。其中的费罗和塔尔塔利亚，他们试图把科学变成独占的成果，这是行不通的。今天绝大部分数学家，会知道卡尔达诺和费拉里对解方程的贡献，对费罗所知甚少。原因就是前者将这些方法告诉了世人。
对于搞技术的人来讲，将科学变成改变世界的产品是他们所追求的，有可能带来财富。因此，技术是要独占的。虽然我们说科学无国界，但是技术从来就是有国界，不仅有国界，甚至有公司的边界。
对于一个人来讲，他需要搞清楚的，就是自己想要什么。
我学习微积分是三十多年前的事情了，很多具体的内容已经想不起来了，但是学习了之后，人的思维方式改变了。因此，从通识教育的目的来看，我应该算是达到了。今天借着复盘的机会，和你分享一下我从数学中得到的启发，希望能供你参考。