NJUPT《 数据结构 》

1/4 往年真题

2/4 期末测验

• 课后选择题
  第一章：ACCAC
  第二章：ADBCB DDCAB
  第三章：D
  第四章：B(228)DCA
  第五章：DBDDC CACBB AC
  第六章：BBDCB
  第七章：BBCBA ACBBB 12
  第八章：3 2 D 拉链法
  第九章：BBADAA
  第十章：A(CB)DB CA

• 其他课后习题
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3/4 复习笔记

1 算法分析

1、算法
2、算法的时间复杂度
3、算法的空间复杂度
4、常见的渐进时间复杂度
O(1) < O(log2 n) < O(n) < O(nlog2 n) < O(n^2) < О(n^3) <0(2^n) < O(n!) < O(n^n)

2 线性表

1、顺序表
优点：可以随机地存取表中任何一个元素。
缺点：① 元素的插入、删除需要移动大量的数据元素。插入操作平均移动 n/2 个结点，删除操作平均移动 (n-1)/2 个结点。
② 顺序表要求连续的存储空间，必须预先分配，故最大长度很难确定。
线性表的顺序存储有两种表示方式：静态数组、动态数组。
1）顺序表的插入运算
时间主要消耗在数据的移动上，在第 i 个位置上插入x，从 ai 到an 都要向后 移动一个位置，共需要移动 n-i+1 个元素。时间复杂度为 O(n)。
2）顺序表的删除运算
时间也主要消耗在数据的移动上，删除第 i 个元素时，从 ai+1 到an 都要向前移动一个位置，共需要移动 n-i 个元素。时间复杂度为 O(n)。
3）顺序表的按值查找
主要运算是比较。比较次数与x在表中的位置有关，也与表长有关。按值查找的平均比较次数为 (n+1)/2，时间复杂度为 O(n)。
2、链表
优点：在插入或删除操作时，只需修改相关指针域即可，无需移动结点。
缺点：① 不可以随机地存取表中任何一个元素。
② 为了反映元素之间的逻辑关系，必须附加指针来表示，导致存储空间利用率降低。
在线性表的长度变化较大、频繁插入和删除、表长预难以确定的情况下，最好采用链表作为存储结构。

1）建立单链表。
2）链表的查找运算。
3）链表的插入运算。
4）链表的删除运算。

3、循环链表，双向链表

3 栈

1、允许插入、删除的一端称为栈顶，另一端称为栈底。先进后出，线性结构。
2、进于顺序存储结构的栈需注意：①进栈时栈是否满；②出栈时栈是否空。

4 队列

一、队列
1、允许插入的一端称为队尾，允许删除的一端称为队头。
先进先出，线性结构。出队列顺序 = 入队列顺序。
2、判断循环队列的“空"和"满"
空：Q->rear == Q->front;
满：(Q->rear)%(Q->maxSize) == Q->front;
3、除了栈和队列，还有一种限定性数据结构是双向队列。
4、若以1234作为双向队列的输入序列，满足以下条件的输出队列有：
① 能由输入受限的双向队列得到，但不能由输出受限的双向队列得到：4132
② 能由输出受限的双向队列得到，但不能由输入受限的双向队列得到：4213
③ 既不能由输入受限的双向队列得到，也不能由输出受限的双向队列得到：4231

二、特殊短阵
1、数组：一般采用顺序存储，是随机存取结构。
① 二维数组按行优先寻址：设数组的基址为 LOC(a00)，每个数组元素占据d个地址单元，有LOC(aij) = LOC(a00) + (i*n+j)*d
② 二维数组按列优先寻址：设数组的基址为 LOC(a00)，每个数组元素占据d个地址单元，有LOC(aij) = LOC(a00) + (j*n+i)*d
2、对称矩阵：将对称矩阵 A 压缩存储到 SA[n(n+1)/2] 中。

5 二叉树

一、树、二叉树
1、树的定义是递归的，特别适合于表示元素之间的层次关系。
2、二叉树：二叉树是有序的，即使只有一棵子树，也要区分左右。
① 满二叉树：所有分支结点都存在左右子树，且叶子结点都在同一层上。
② 完全二叉树：元素依次处于二叉树从上到下、从左到右的位置。
特点：度为1的结点只有0个或1个。叶结点只能在最下层和次下层。
3、二叉树的存储结构
（1）顺序存储结构：适合于满二叉树、完全二叉树。
（2）链式存储结构：适合于二叉树。

二、树、二叉树的性质
① 二叉树的第 i 层上至多有 2^(i-1) 个结点，i≥1。
② 高度为 h 的二叉树上至多有 2^h-1 个结点，h≥0。
③ 二叉树中，若叶结点数量为n0，度为2的结点数量为n2，则有：n0=n2+1。
④ 包含 n 个结点的二叉树高度最小为 ⌊log₂n⌋+1 或 ⌈log₂(n+1)⌉，最大为n。
⑤ 包含 n 个结点的完全二叉树的高度为 ⌊log₂n⌋+1 或 ⌈log₂(n+1)⌉。
推广②：满二叉树第 h 层的结点个数比第 1~h-1 层结点总数多1个。
推广③：度为 m 的树中，若叶结点数量为N0，度为2的结点数量为N2，度为3的结点数量为N3...，度为m的结点数量为Nm，则有：N0=1+N2+2N3+...+(m-1)Nm。
1、树中的结点数等于所有结点的度数+1。
2、度为 m 的树中第 i 层上至多有 m^(i-1)个结点，i≥1。
3、度为 m 高为 h 的树中至多有 (m^h-1)/(m-1) 个结点，h≥1。
4、度为 m 结点数为 n 的树最小高度为 ⌈logm (n(m-1))+1⌉。

6 二叉树的遍历

1、遍历二叉树是对一个非线性结构进行线性化的操作。
（1）先序遍历：递归算法、非递归算法
（2）中序遍历：递归算法、非递归算法
（3）后序遍历：递归算法、非递归算法
（4）层次遍历
2、二叉树的操作包括：插入、删除、二叉树的复制、左右子树的交换。
3、满足下列条件的二叉树：
（1）若先序序列=后序序列，则或为空树，或为只有根结点的二叉树。
（2）若中序序列=后序序列，则或为空树，或为任一结点至多只有左子树的二叉树。
（3）若先序序列=中序序列，则或为空树，或为任一结点至多只有右子树的二叉树。
（4）若中序序列=层次序列，则或为空树，或为任一结点至多只有右子树的二叉树。
① 若先序序列与后序序列相反，则或为空树，或每层只有一个结点的二叉树。
② 若中序序列与后序序列相反，则或为空树，或为任一结点至多只有右子树的二叉树。
③ 若先序序列与中序序列相反，则或为空树，或为任一结点至多只有左子树的二叉树。

7 线索二叉树

1、引入线索便于查找结点的前驱和后继。
在线索二叉树上遍历消除了递归，也不使用栈。

2、分类：先序线索二叉树、中序线索二叉树、后序线索二叉树。

8 树和森林

1、森林和二叉树的关系及转换
2、树的遍历有2条搜索路径：
① 先根遍历：若树不空，则先访问根结点，然后依次先根遍历各棵子树。
② 后根遍历：若树不空，则先依次后根遍历各棵子树，然后访问根结点。
3、森林的遍历
① 森林的分解：森林中第一棵树的根结点，森林中第一棵树的子树，森林中的其他树。
② 森林的遍历有2条搜索路径：先序遍历、中序遍历。

9 二叉搜索树、二叉平衡树

一、二叉搜索树
1、二叉搜索树的定义。
2、一个无序序列，通过构建二叉搜索树而成为有序序列。
3、平均搜索长度ASL值。
4、插入结点、删除结点。
二、二叉平衡树
1、平衡二叉树的定义。
2、平衡调整操作：LL、RR、LR、RL。

10 哈夫曼树、哈夫曼编码

1、哈夫曼树
指对于一组带有权值的叶结点，构造的具有最小带权路径长度的二叉树。
2、哈夫曼树的构造方法。
3、总结
① 用 n 个叶子结点构造哈夫曼树，共需要 n-1 次合并。
即非叶结点的总数为 n-1，总结点个数为 2n-1。
② 哈夫曼树中没有度为1的结点，因为非叶结点都是两个结点合并的。
而没有度为1的二叉树并不一定是哈夫曼树。
③ 用 n 个叶子结点构造哈夫曼树，形态并不是唯一的。
④ 高度为 h 的哈夫曼树，叶结点的编码最大长度为 h-1。
4、哈夫曼编码思想
将构成电文的每个不同字符作为叶结点，其权值为字符的使用频率，构造哈夫曼树。
结点分支左标识为 "0"，右标识为 "1"，树中从根到每个叶结点都有唯一的路径，即 "0" 和 "1" 组成的哈夫曼编码。

11 图

1、图
2、无向图
3、有向图
4、无向完全图
5、有向完全图
6、稠密图、稀疏图
7、顶点的度、入度、出度
8、边的权、网图
9、路径、路径长度
10、简单路径、简单回路
11、子图
12、连通图、连通分量
13、强连通图、强连通分量
14、生成树
15、生成森林

12 图的存储及基本操作

1、邻接矩阵
用一维数组存储图中顶点的信息，用矩阵表示图中各顶点之间的邻接关系。
① 无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵。
② 有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵。
有向完全图的邻接矩阵一定是对称矩阵。
③ 对于无向图，邻接矩阵的第 i 行非零元素的个数就是第 i 个顶点的度。
④ 对于有向图，邻接矩阵的第 i 行非零元素的个数就是第 i 个顶点的出度。
⑤ 稠密图适合用邻接矩阵存储表示。
2、邻接表
一种顺序存储、链式存储结合的存储方法。对于每个顶点vi，将所有邻接于 vi 的顶点 vj 链成一个邻接表，再将所有邻接表表头放到数组中。
① 若无向图中有 n 个顶点、e 条边，则它的邻接表需 n 个头结点和 2e 个表结点。
② 无向图的邻接表中，顶点 vi 的度恰为第 i 个链表中的结点数。
③ 有向图的邻接表中，顶点 vi 的出度恰为第 i 个链表中的结点数。
④ 稀疏图适合用邻接表存储表示。

13 图的遍历

1、通常有深度优先搜索、宽度优先搜索。前者是递归的过程，后者是非递归过程。
2、两者遍历图的时间复杂度相同，不同之处仅仅在于对顶点访问的顺序不同。
用邻接矩阵存储时，时间复杂度为 O(n^2)
用邻接表存储时，时间复杂度为 O(n+e)
3、深度优先搜索历的空间复杂度为 O(n)
4、树的先根遍历是一种深度优先搜索策略。
树的层次遍历是一种宽度优先搜索策略。

14 图的基本应用

一、图的最小生成树
1、图的生成树不是唯一的。
2、普里姆（Prim）算法的基本思想。
3、克鲁斯卡尔（Kruskal）算法的基本思想。
4、Prim 算法的时间复杂度为 O(n^2)，适用于稠密图。
5、Kruskal 算法需对 e 条边按权值排序。若采用堆排序算法：
Kruskal 算法的时间复杂度为 O(eloge)，适用于稀疏图。

二、图的拓扑排序
1、拓扑有序序列
AOV 网 G 中的顶点所构成的有序序列，且满足以下条件：
① AOV 网的优先关系与序列的先后关系一致。
② AOV 网中无优先关系的顶点也赋予了一定的先后关系。
拓扑排序：构造拓扑有序序列的过程，序列可能不唯一。
2、若AOV网中所有顶点都在拓扑序列中，则该网不存在回路。
3、拓扑排序的方法。

三、图的关键路径
1、关键路径
AOE 网中从源点到终点的最大长度的路径。
关键路径长度是整个工程所需的最短工期。
关键路径上的活动称为关键活动，要缩短工期，必须加快活动的进度。
2、求关键路径的算法
（1）求AOV网中所有事件的最早发生时间 ve()
（2）求AOV网中所有事件的最迟发生时间 vl()
（3）求AOV网中所有活动的最早发生时间 e()
（4）求AOV网中所有活动的最迟发生时间 l()
（5）找出所有 e()=l() 的活动构成的关键路径。

四、图的最短路径
1、Dijkstra 算法
用于求图中从某个顶点到其他顶点的最短路径，时间复杂度 O(n^2)
也可以重复利用算法，求图中每一对顶点之间的最短路径，时间复杂度 O(n^3)
2、Floyd 算法
用于求图中每一对顶点之间的最短路径，时间复杂度 O(n^3)

15 顺序查找、折半查找

一、顺序查找
1、一种思想比较朴素的比较算法，时间开销大，常用于无序表的查找。
2、时间复杂度为O(n)。对于线性链表，只能进行顺序查找。
二、折半查找
1、这一种有序顺序表的快速查找算法。一次比较就能排除一半的记录。
2、时间复杂度为O(log₂ n)。查找过程可用二叉判定树来描述。
3、查找长度不超过树的高度，若有序表的长度为n，比较次数最多为 ⌊log₂ n⌋+1。
注：在查找中是和关键字进行比较，而不是和数据元素进行比较。

16 B- 树

1、定义
一棵 m 阶 B- 树满足下列特性：
① 结点最多有 m 个孩子。根结点至少有 2 个孩子。
② 结点至少有 ⌈m/2⌉ 个孩子。（除了根结点和失败结点）
③ 失败结点都在同一层。（即叶子结点都在同一层）

2、性质
① 结点最多有 m 个孩子，m-1 个关键字。
② 结点至少有 ⌈m/2⌉ 个孩子，⌈m/2⌉-1 个关键字。（除了根结点和失败结点）
③ 设失败结点总数是s，元素总数是N，则：N=s-1
④ 设有 N 个元素的 m 阶 B- 树的高度是 h，则：h ≤ 1+log⌈m/2⌉ (N+1)/2
3、插入、删除操作
① 插入。分裂条件：关键值个数 > m-1
② 删除。合并条件：关键值个数 < ⌈m/2⌉-1，且借不到（兄弟/双亲/孩子/指针）

17 散列表

1、一般情况下，很容易产生“冲突”现象，即：key1 ≠ key2，f(key1) = f(key2)。
2、常用的散列函数：H(key) = key (mod P)，P≤m 且 P 为最大素数。
3、处理冲突的方法
1）闭散列法，也称开地址法：线性探测法、二次探测法、双散列法。
2）开散列法，也称链地址法（略）

18 排序

1、直接插入排序
依次将待排序列中的记录插入到已排序列中，直到全部都排好序。

2、简单选择排序
第 i 趟通过 n-i 次比较，在 n-i+1 个记录中选取关键码最小的记录，并和第 i 个记录交换。

3、冒泡排序
两两比较相邻记录的关键码，如果反序则交换，直到没有反序的记录为止。
4、快速排序
首先选一个轴值，将待排序列分割成两部分，左侧关键码均小于或等于轴值，右侧关键码均大于或等于轴值，然后对这两个部分重复上述过程，直到整个序列有序为止。

5、归并排序
将若干有序序列进行两两合并，直到所有记录都在一个有序序列为止。

6、堆排序
首先将序列调整成堆，堆顶与堆底交换，弹出堆顶。再调整成堆...以此类推，直到只有一个记录为止。

7、各种内排序算法的比较

1、稳定：合并排序、冒泡排序、直接插入排序。
2、不稳定：快速排序、堆排序、希尔排序、简单选择排序。

4/4 MOOC笔记

一、绪论

1-1 基本概念

① 数据：可被计算机识别并加工处理的对象。
② 数据元素：由数据组成的具有一定意义的基本单位。
③ 数据项：组成数据元素的、不可分割的最小单位。

1-2 数据结构

数据结构是指某一数据对象及其中所有元素之间的关系组成。
数据如何组织并存储于计算机中使其能有效运行的方式。
包括数据的逻辑结构、存储结构、对数据的运算。
1）逻辑结构：数据元素间的逻辑关系
根据数据元素关系的特征，可分为四种基本逻辑结构：
a.集合结构，数据元素同属于一个集合，没有关系
b.线性结构，数据元素之间存在一对一的关系
c.树形结构，数据元素之间存在一对多的关系
d.图形结构，数据元素之间存在多对多的关系
四种逻辑结构也可分为两类：线性结构、非线性结构

2）存储结构：数据元素及数据元素之间的关系在计算机内的表示形式
① 顺序存储结构：将逻辑上相关的数据元素依次存储在地址连续的存储空间中
假设有一线性数据结构（a0，a1，a2），每个数据元素占2个存储单元，存储区的起始地址是100，如何存储?

② 链式存储结构：数据元素存储在连续或不连续的存储空间，数据元素之间的关系通过指针域来体现
假设有一线性数据结构（a0，a1，a2），每个数据元素占2个存储单元，存储区的起始地址是100，如何存储?

③ 索引存储结构：建立附加的索引表来标识结点的地址
④ 散列存储结构：将数据元素的关键字与存储位置之间建立散列表
1.顺序存储和链式存储是两种最基本的存储表示方法。
2.存储时不仅保存了数据元素，还保存了数据元素之间的逻辑关系。

3）数据的运算：数据被使用的方式
① 搜索运算：在数据结构中搜索满足一定条件的元素;
② 插入运算：在数据结构中插入新的元素;
③ 删除运算：将数据结构中指定元素删除;
④ 更新运算：将数据结构中指定元素更新为新的元素。
数据结构的三要素：给定数据分析数据元素间的逻辑结构，采取恰当的存储结构，实现数据的运算
4）为什么要学习数据结构

1-3 算法和算法分析

1）什么是算法
算法是对特定问题的求解步骤的一种描述，是指令的有限序列

① 输入：算法有零个或多个输入。
② 输出：算法至少产生一个输出。
③ 确定性：算法的每一条指令都有确切的定义，没有二义性。
④ 可行性：可以通过已实现的基本运算执行有限次来实现。
⑤ 有穷性：算法必须总能在执行有限步之后终止。
2）算法的描述方法
算法可以用自然语言、流程图、伪代码、程序设计语言描述。
当一个算法用程序设计语言描述时，便成为程序。(教材使用C语言描述)
A：算法和程序最显著的区别是什么呢?
Q：算法必须是有穷的，而程序不一定满足有穷性。
比如电脑开机运行中的操作系统，只要整个系统不遭破坏，它将永远不会停止。即使没有作业需要处理，它仍处于动态等待中。所以操作系统只是程序，不是一个算法。
3）算法优劣的衡量标准
① 正确性：执行结果满足预先规定的功能和性能要求。
② 可读性：思路清晰、层次分明、易读易懂。
③ 健壮性：当输入不合法数据时，能做适当处理，不至于引起严重后果。
④ 高效性：执行效率高，占用存储空间少。

1-4 时间复杂度

1）什么是时间复杂度
算法的时间复杂度是程序运行从开始到结束所需的时间。
一般情况下，可以通过程序中的程序步数来衡量算法的时间复杂度。
2）渐近时间复杂度
使用大O记号表示的时间复杂度，也常简称为时间复杂度。
通常用O(1)表示常数计算时间，即算法只需执行有限个程序步。

很多情况下，可以通过一个算法中的关键操作(执行次数最多的程序步)的执行次数来计算时间复杂度，有时也需要同时考虑几个关键操作。

3）最好/最坏/平均时间复杂度
例：在一个有n个元素的数组中查找指定元素，某个搜索算法从第一个元素开始挨个检查。
最好情况：待查元素是第一个元素(查找1次)
最坏情况：待查元素是最后一个元素(查找n次)
平均情况：对第i个元素，从头开始找到它需要进行i次查找，共有n个元素，平均查找次数为 (1+2++n)/n=(n+1)/2

1-5 空间复杂度

算法的空间复杂度是指程序运行从开始到结束所需的存储量，一般按最坏情况来分析。
问题实例的特征是指与问题的具体实例有关的量。
例：对特定个数的元素进行排序，排序就是排序问题的一个实例，元素个数就是该实例的特征。
程序运行所需的存储空间包括两部分：
① 固定部分
这部分空间与所处理数据的大小、个数无关（与问题实例的特征无关）
例：程序代码、常量、简单变量、定长成分的结构变量所占的空间。
② 可变部分
这部分空间大小与算法在某次执行中处理的特定数据的大小、规模有关
例：分别为包含100个元素的两个数组相加，与分别为包含10个元素的两个数组相加，所需的存储空间。

二、线性表

2-1 线性表的定义

一、线性表
线性表是零个或多个数据元素构成的线性序列，记为（a0，a1，...，an-1）
n 为线性表的长度，当 n=0 时线性表为空表。
设线性表（a0，a1，...，ai-1，ai，ai+1，...，an-1）
ai-1 是 ai 的直接前驱，ai+1 是 ai 的直接后继。
a0 没有直接前驱，an-1 没有直接后继，其他元素有且仅有一个直接前驱和一个直接后继。
二、抽象数据类型

2-2 顺序存储

1、顺序存储
指使用连续的存储空间，按照数据元素在线性表中的序号依次存储数据元素。
优点：随机存取，存储空间的利用率高。
缺点：插入删除效率低，存储空间固定。
2、设线性表中第一个元素a0在内存中的存储地址是loc(a0)，每个元素占用k个存储单元，则ai在内存的存储地址为：loc(a0)+i*k

3、线性表的顺序表示

2-3 链接存储

一、链表
链表分类：单链表、循环链表、双向链表。
链表不仅需要在数据域（element）存储元素，还需在指针域（link）存储直接后继的地址。
单链表：每个结点只包含一个指针域的链表。最后一个结点的指针域为 NULL，在图中记为 ∧。first 是头指针，指向链表中的头结点。

二、单链表
1、单链表类型定义

2、单链表的插入

3、单链表的删除

三、带表头结点的单链表

四、单循环链表
指将最后一个结点的指针域存储头结点的地址,使得整个单链表形成一个环。

可为单循环链表增加表头结点，构成带表头结点的单循环链表。

五、双向链表

typedef struct duNode{
ElemType element; //数据域
struct duNode * llink; //左指针域,存储直接前驱结点的地址
struct duNode * rlink; //右指针域,存储直接后继结点的地址
}DuNode ,DuList;

q->llink = p->llink;
q->rlink = p;
p->llink -> rlink=q;
p->llink = q;

p->llink->rlink = p->rlink;
p->rlink->llink = p->llink;
free p;

三、堆栈和队列

3-1 堆栈

一、堆栈的基本概念
堆栈（Stack）是限定数据元素的插入和删除操作都在同一端进行的线性结构。

二、堆栈的顺序表示

1、创建一个空堆栈

2、销毁已存在的堆栈

3、清除堆栈中的元素

4、判断堆栈是否已满

5、判断堆栈是否为空

6、获取栈顶元素

7、入栈操作

8、出栈操作

三、堆栈的链接表示

3-2 队列

一、队列的基本概念
队列（Queue）是限定数据元素的插入在表的一端，数据元素的删除在表的另一端的线性结构。

二、队列的顺序表示

三、循环队列
Q：为什么front指向一个不可用的空间，而不是直接指向队头元素？
A：需要一个不可用的空间，来区别队列判空、判满的条件。

四、循环队列的实现
1、创建一个空队列

2、销毁已存在的队列

3、清除队列中的元素

4、判断队列是否为空

5、判断队列是否已满

6、获取堆头元素

7、入队操作

8、出队操作

五、链式队列

3-3 表达式

1、表达式的概念
中缀表达式：操作符在两个操作数之间的表达式。示例：a+b
计算的顺序由界符、操作符优先级决定。
后缀表达式：操作符在两个操作数之后的表达式。示例：ab+
计算的顺序只取决于操作符的扫描顺序。
2、算法的堆栈实现
① 从左往右顺序依次扫描：
若当前扫描元素是操作数，则将操作数压进栈；
若当前扫描元素是操作符，则弹出两个操作数，并执行操作符的运算，然后将结果进栈；
② 当表达式扫描结束，弹出栈顶数据，该数据即为计算结果。
例：642-/32+ = 6/(4-2)+32 = 9

3-4 递归

直接递归：函数的实现过程中出现了对自身的调用。
间接递归：函数调用形成了一个环状调用链。
例：函数A的实现过程中调用了B，而B的实现过程中又调用了A。
递归程序空间需求和时间需求都较高，建议采用循环迭代（非递归）方法。

四、数组

4-1 数组的基本概念

一、数组的定义
数组是下标index和值value组成的偶对的集合。
例1：int one[5]={5, 6, 4, 2, 7}；⇒ {(0, 5), (1, 6), (2, 4), (3, 2), (4, 7)}；
例2：int one[2][3]={{0, 1, 2}, {3, 4, 6}}；⇒ {(<0, 0>, 0), (<0, 1>, 1), (<0, 2>, 2), (<1, 0>, 3), (<1, 1>, 4), (<1, 2>, 6)}；
二、数组的顺序存储

三、三维数组的实现

4-2 对称矩阵

在 n×n 的矩阵A中，若a[i][j]=a[j][i]，则称其为 n 阶对称矩阵。
只存储上三角（或下三角）中的元素（包括对角线上的元素），需要n（n+1）2个元素的存储空间，提高了存储效率。

4-3 稀疏矩阵

一、稀疏矩阵的定义
矩阵中非零元素数量占元素总数的比例称为矩阵的稠密度。
稠密度小于5%的矩阵称为稀疏矩阵，稀疏矩阵中零元素的分布没有规律。
为了节省存储空间，对稀疏矩阵可以只存储非零元素。
稀疏矩阵常出现于大规模集成电路设计、图像处理等领域。
二、稀疏矩阵的顺序存储

三、稀疏矩阵的转置
1、方法一
步骤1：依次访问A的行三元组表中各个三元组，交换元素行列号。
步骤2：将行三元组表中的三元组按照行下标值从小到大重新排序。

2、方法二
步骤1：找到列下标 j=0的所有三元组，交换元素行列号。
步骤2：找到列下标 j=1的所有三元组，交换元素行列号。
. . .
步骤n：找到列下标 j=n-1的所有三元组，交换元素行列号。

四、快速转置算法

五、树和二叉树

5-1 树

一、树的定义
树是包括n个元素的集合D，R是D中元素的序偶集合。若D为空，则为空树；否则，R满足如下要求：① 如果树不为空，则树的根结点是唯一的。② 根结点没有前驱，其它结点均有唯一前驱。

二、树的基本术语
结点（node）：树中的元素。根结点和它的子树根之间形成边。
路径（path）：从某个结点沿边可到达另一结点，则称两点间存在一条路径。
双亲（parent）：若结点有子树，那么该结点称为子树根的双亲。
孩子（child）：某结点子树的根称为该结点的孩子。
兄弟（sibling）：有相同双亲的结点互为兄弟。
后裔（descendant）：某结点子树上的任何结点都是该结点的后裔。
祖先（ancestor）：从某结点到根结点路径上的所有结点都是该结点的祖先。
结点的度（degree）：结点拥有的子树数。
叶子（leaf）：度为零的结点。
分支结点（branch）：度不为零的结点。
树的度：树中各结点度的最大值。
结点的层次：根结点层次为1，其余结点层次等于其双亲结点层次加1。
树的高度：树中结点的最大层次。
无序树：树中结点的各树之间的顺序无关，可以交换位置。
有序树：树中结点的各棵子树从左到右顺序相关，不可以交换位置。
森林：0棵或多棵不相交的树组成森林。

5-2 二叉树

一、二叉树的定义及性质
1、二叉树的定义
二叉树（binary tree）是结点的有限集合，该集合要么为空集，要么由一个根和两个互不相交的左、右子树的二叉树组成。
二叉树中结点的子树要区分左、右子树，即使只有一棵子树。二叉树的每个节点最多只能有2棵子树。

2、二叉树的性质
① 二叉树的第 i 层上至多有 2^(i-1) 个结点，i≥1。
② 高度为 h 的二叉树上至多有 2^h-1 个结点，h≥0。
③ 包含 n 个结点的二叉树高度最矮为 ⌈log₂(n+1)⌉，最高为n。
④ 二叉树中，若叶结点数量为n0，度为2的结点数量为n2，则有：n0=n2+1。
二、特殊二叉树
1、满二叉树
高度为h，且有2^h-1个结点的二叉树。

2、完全二叉树
① 只有最下面两层中结点的度可以小于2。
② 叶结点均依次集中在靠左的若干位置上。

3、扩充二叉树
除叶结点外，其余结点都必须有两个孩子。

满二叉树一定是完全二叉树，也是扩充二叉树。
三、二叉树的ADT

四、二叉树的存储表示

五、二叉树的基本运算
1、创建一棵空二叉树

2、创建新结点

3、返回树的根结点

4、构建一棵二叉树

5-3 二叉树的遍历

一、二叉树遍历的基本概念
二叉树的遍历：对二叉树中的每个结点访问且仅访问一次的操作。
先序遍历（VLR）：先访问根结点，再遍历左子树，最后遍历右子树。
中序遍历（LVR）：先遍历左子树，再访问根结点，最后遍历右子树。
后序遍历（LRV）：先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根结点。
二、先序、中序、后序遍历

三、二叉树的层次遍历
① 从上到下、从左到右逐层访问二叉树每一个结点。
② 每个节点访问且仅访问一次。

四、二叉树遍历的相关性质
1，给定一棵二叉树，可以得出先序、中序、后序和层次遍历序列。
2，已知二叉树的先序遍历和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。
3，已知二叉树的后序遍历和中序遍历序列，可以唯一确定一棵二叉树。
4，已知二叉树的先序遍历和后序遍历序列，无法唯一确定一棵二叉树。
五、二叉树遍历的应用实例
1、计算二叉树的结点总数量

2、清空二叉树

5-4 树和森林

一、树转换为二叉树
连线：将树中具有兄弟关系的结点从左到右依次连线；
去线：仅保留结点最左孩子的连线，去掉其余孩子的连线；
整形：调整为标准形状的二叉树。

二、森林转换为二叉树
将森林中的每一棵树转换为对应的二叉树，然后根结点依次并入右子树。

三、二叉树转换为树或森林
整形：将所有结点左孩子连线调整为垂直、右孩子连线调整为水平；
连线：将水平线上的第一个结点的父节点，与其他的结点进行连线；
去线：去除水平连线；
整形：调整树的形状。

四、树和森林的存储表示
① 多重链表表示法（链接结构）

② 孩子兄弟表示法（链接结构）

③ 三重链表表示法（链接结构）

④ 双亲表示法（顺序结构）

⑤ 带右链的先序表示法（顺序结构）

五、树和森林的遍历
1、先序遍历（深度方向）

2、中序遍历（深度方向）

3、后序遍历（深度方向）

4、层次遍历（宽度方向）

5-5 堆和优先权队列

一、堆的概念及存储表示
1、什么是堆
从逻辑结构上看，一个大小为 n 的堆是一棵包含 n 个结点的完全二叉树，根结点称为堆顶，包含如下两类：
① 最小堆：树中每个结点的数据都小于或等于其孩子结点，堆顶存储的数据是整棵树中最小的。
② 最大堆：树中每个结点的数据都大于或等于其孩子结点，堆顶存储的数据是整棵树中最大的。

2、堆的存储表示

二、建堆运算
1、向下调整（AdjustDown）
算法思想：以最小堆为例，从最后一个叶子的双亲反方向直到根结点，依次对其中的每一个结点执行向下调整操作。步骤如下：
① 若该结点小于等于其最小的孩子，则本轮调整结束；否则执行步骤 ②
② 将该结点与最小孩子交换，然后继续以该结点为考查对象，再次执行步骤 ①

2、向上调整（AdjustUp）
算法思想：设新元素插入在最小堆元素序列的尾部。从新元素开始，自底向上，与父结点元素进行大小比较。若父结点元素大于孩子结点元素，则进行交换，直到其父结点元素不大于孩子结点元素。

三、优先权队列
1、什么是优先权队列
一种具有如下特性的数据结构：元素加入的次序无关紧要，但每次取元素时，都只取具有最高优先级的元素。
2、优先权队列的实现

5-6 哈夫曼树及哈夫曼编码

一、树的路径长度
文本压缩：将文本重新编码，节省不必要的空间，需支持反向解压（解码）
字符编码：可以等长（如 ASClI 编码等），也可以不等长（如哈夫曼编码）
树的内路径长度：除叶结点外，从根到其他结点的路径长度和。

树的外路径长度：从根结点到树中所有叶子结点的路径长度和。

定理：扩充二叉树的外路径长度 E，内路径长度 I，非叶结点个数 n，则有 E=I+2n 。
叶结点的加权路径长度：指其路径长度与权值的乘积。
树的加权路径长度：所有叶结点的加权路径长度之和，记为 WPL = Σ wl 。

每一个叶结点表示一个字符；
叶结点权值指对应字符在文本中的出现频率；
叶结点的路径长度表示对应字符的编码长度；
WPL表示的是文本转编码之后的总编码长度。
二、哈夫曼树和哈夫曼算法
哈夫曼树是扩充二叉树，且非叶节点的权值等于左右孩子的权值之和。

三、哈夫曼编码

六、集合和搜索

6-1 集合的抽象数据类型

一、基本概念
数据结构意义上，集合通常是动态的。在集合中可以插入和删除元素，因而称为动态集。
二、 集合的抽象数据类型

三、集合的表示形式
集合可以用线性表、搜索树、散列表表示。

6-2 顺序表搜索

6-3 二分搜索

6-4 平均搜索长度分析

一、平均搜索长度
1、分析一个搜索算法的时间复杂度通常分为搜索成功、搜索失败两种情况。
2、为了确定指定关键字值记录在表中的位置，需要进行关键字值间的比较，这些比较次数的期望值称为搜索算法的平均搜索长度（ASL）。
二、无序表的顺序搜索
1、成功搜索的平均搜索长度：ASL = (n+1)/2
2、搜索失败的平均搜索长度：ASL = n
三、有序表的顺序搜索
1、成功搜索的平均搜索长度：ASL = (n+1)/2
2、搜索失败的平均搜索长度：ASL = 2+n/2
四、二分搜索的平均搜索长度分析
可以建立一棵二叉判定树来模拟对半搜索执行过程。

二叉判定树上的搜索定理：在成功搜索的情况下，算法比较次数不超过 ⌊log2 n⌋ +1。在失败的搜索情况下，算法比较次数为 ⌊log2 n⌋ 或 ⌊log2 n⌋ +1 。

七、搜索树

7-1 二叉搜索树

一、二叉搜索树的基本概念
1、定义：设结点由关键字值表征，所有结点的关键字值各不相同。二叉搜索树具有下列性质：
① 左（右）子树上所有结点的关键字值均小（大）于根结点；
③ 左、右子树也分别是二叉搜索树。
2、性质：若中序遍历一棵二叉搜索树，关键字值递增排列。
3、二叉搜索树类型实现

4、二叉搜索树搜索操作

二、二叉搜索树的插入操作
1、在二叉搜索树上插入新结点

2、从空树开始构造二叉搜索树（同理）
3、二叉搜索树插入操作

三、二叉搜索树的删除操作
1、删除叶结点。2、删除有一个孩子的结点。3、删除有两个孩子的结点。

四、二叉搜索树搜索操作的时间复杂度

7-2 二叉平衡树

一、基本概念
1、二叉平衡树（AVL树）：具有下列性质的二叉搜索树：
① 其根的左、右子树高度差不超过1。② 其根的左、右子树都是二叉平衡树。
2、结点的平衡因子：该结点的左子树高度减去右子树高度之差。
二、二叉平衡树的插入
1、先按二叉搜索树的插入方法插入结点以保持排序性；
2、然后判断平衡性是否被破坏，进而决定是否需要调整平衡；
3、若平衡性被破坏，找到要调整的最小子树，调整其平衡性。
三、最小子树S上的平衡调整方法
① LL（RR）类型，即新结点插入s的左（右）子树的左（右）子树上，则采用单旋转方法；
② LR（RL）类型，即新结点插入s的左（右）子树的右（左）子树上，则采用双旋转方法。

7-3 B-树

一、m叉搜索树
1、m叉搜索树的定义

图中的方块代表空树，也称失败结点，因为这是当搜索不到关键字值时到达的子树。
失败结点中不包含元素，失败结点不是叶子结点。

2、内搜索和外搜索
内搜索：当集合足够小，可以驻留在内存中时，相应的搜索方法。
外搜索：如果文件很大，计算机内存容不下时，必须存放在外存。在外存中相应的搜索方法。
内存中集合用二叉平衡树表示。外存中集合用一种特殊的m叉搜索树——B-树表示。
典型的磁盘存取时间是1ms-10ms，典型的内存存取时间是10ns-100ns。
内存的存取速度比磁盘快1万至百万倍，设法减少磁盘存取操作是外搜索应充分考虑的问题。
3、m叉搜索树的性质
性质1：高度为h的m叉搜索树中最多有 m^h-1 个元素。
性质2：含有N个元素的m叉搜索树高度在 logm(N+1)~N 之间。
二、B-树的定义及性质
1、定义
一棵 m 阶 B- 树满足下列特性：
① 根结点至少有2个孩子（根结点可以只有一个元素）；
② 除根结点和失败结点都至少有 ⌈m/2⌉ 个孩子（保证B-树不会退化成单支树）；
③ 所有失败结点均在同一层上。（考虑平衡性）
由定义可以得到：
① 一个结点最多有m个孩子，m-1个关键字；
② 除根结点和失败结点都至少有 ⌈m/2⌉ 个孩子，⌈m/2⌉-1个关键字；
③ 失败结点的双亲是叶结点。
2、性质
① 设B-树的失败结点总数是s，元素总数是N，则：N=s-1
② 设有N个元素的m阶B-树的高度是h，则：h ≤ 1+log⌈m/2⌉ (N+1)/2
三、B-树的搜索

1、搜索的过程是一个顺指针查找结点，和在结点的关键字中搜索交叉进行的过程。
2、B-树主要做文件的索引，因此搜素涉及外存的存取，包含两种基本操作：
① 在B-树中找结点。需执行的磁盘访问次数 ≤ 1+log⌈m/2⌉ (N+1)/2。
② 在结点中找关键字。B-树的每个结点可以看成一个有序表，在结点中的搜索是在内存中，可以采用顺序搜索、二分搜索等算法。
四、B-树的插入
例：在4阶B-树中插入新元素59
m阶B-树每个结点的关键字数为 ⌈m/2⌉-1~m-1，即 1~3。

1、插入元素59后关键字数大于3（上溢出）。

2、将第 ⌈m/2⌉ 个关键字提升，并分裂结点。

3、若调整后父节点关键字数大于3，继续调整。
五、B-树的删除
例：在4阶B-树中删除元素35
m阶B-树每个结点的关键字数为 ⌈m/2⌉-1~m-1，即 1~3。

1、用右子树最小元素39替代元素35。

2、删除元素39，关键字数小于1（下溢出）。

3、向兄弟结点借元素47，交换元素43和47（调整顺序）。

八、散列表（鸽）

九、图

9-1 图的基本概念

一、相关定义
1、图（Graph）：是数据结构 G=（V,E），V是结点的有限非空集合，E是边的有限集合。
2、图中的结点又称为顶点。
3、如果图中边的偶对是有序的，则该图称为有向图。
4、用表示一条有向边，u为始点（尾），v为终点（头）。
5、如果图中边的偶对是无序的，则该图称为无向图。
二、基本术语
1、自回路：无向边 (u，u) 或有向边 。
2、多重图：两个顶点间允许有多条相同边的图。
3、完全图：如果一个图有最多的边数，称为完全图。
包含n个顶点的无向完全图有 n(n-1)/2 条边。
包含n个顶点的有向完全图有 n(n-1) 条边。
4、邻接与关联：如果 (u,v) 是无向图中的一条边，则称顶点 u、v 邻接，并称 (u,v) 与 u、v 相关联。
5、子图：图 G=(V,E) 的一个子图是图 G'=(V',E')，其中 V'⊆V，E'⊆E。
6、路径：图G中，一条从 s 到 t 的路径是存在一个顶点序列 (s,v1,v2,...,vk,t)，使得 (s,v1),(v1,v2),...,(vk,t) 都是图G中的边。
7、路径长度：指路径上边的数目。
8、简单路径：除起点和终点，路径上其余顶点各不相同。
9、回路：起点和终点相同的简单路径。
10、连通图：任意两个顶点连通的无向图。
11、连通分量：无向图的极大连通子图。
注：①每个连通分量必须包含其顶点之间的所有边。
② 如果某个连通子图加上一个顶点后，仍是连通的，则它不是连通分量。

12、强连通图：任意两个顶点互相存在路径的有向图。
13、强连通分量：有向图的极大强连通子图。
14、顶点的度：与该顶点相关联的边的数目。
入度：有向图顶点v的入度指以v为头的边的数目。
出度：有向图顶点v的出度指以v为尾的边的数目。
15、生成树：无向连通图的生成树是一个极小连通子图。它包含图中所有n个顶点，但只有刚好构成一棵树的 (n-1) 条边，再加上1条边将构成回路。
16、网：在图的每条边加上一个数字作为权值，这种带权的图称为网。
三、图的抽象数据类型

9-2 图的存储结构

一、邻接矩阵表示法
1、邻接矩阵表示法

2、图的邻接矩阵实现

二、邻接表表示法
1、邻接表表示法

2、图的邻接表实现

9-3 图的遍历

图的遍历：给定一个顶点v，从v出发对图中所有顶点访问且仅访问一次。
1、深度优先搜索（DFS）遍历

2、DFS 算法实现

3、宽度优先搜索（BFS）遍历

4、BFS 算法实现

9-4 拓扑排序

一、顶点活动网络（AOV网）
顶点代表活动，有向边表示活动之间领先关系的有向图。
二、拓扑排序
将AOV网中顶点排成一个线性序列，满足：若在网中 vi 到 vj 有路径，则 vi 必定在 vj 之前。
三、拓扑序列
AOV网中顶点的线性序列，使得若在网中 vi 领先于 vj，则在线性序列中 vi 是 vj 的前驱结点。

四、拓扑排序算法
1、在图中找一个入度为零的顶点将其输出。
2、从图中删除该顶点及其所有出边。
3、重复 1、2，直到所有顶点都输出（此时得到拓扑序列），或再也没有入度为零的顶点（此时存在有向回路）。

9-5 关键路径

一、基本概念
AOE网在正常（无环）情况下：
1、源点：只有一个入度为零的点，表示工程开始。
2、汇点：只有一个出度为零的点，表示工程结束。
3、关键路径：从源点到汇点的最长路径的长度。
4、关键活动：关键路径上的边代表的活动。

二、关键路径求解过程

9-6 最小代价生成树

一、基本概念
1、无向连通图的生成树是一个极小连通子图，它包括全部顶点，且有尽可能少的边。
2、遍历连通图得到一棵生成树。生成树不是唯一的，采用不同的遍历，得到不同的生成树。
3、最小代价生成树：对于带权的连通图（网），使得各条边权值之和最小的生成树。

二、普里姆算法

三、克鲁斯卡尔算法
（1）在 E 中选择一条代价最小的边 (u,v)，并将其从E中删除
（2）若在 E' 中加入 (u,v) 后未形成回路，则将其加进 E' ，否则重复步骤（1）
（3）重复步骤（2），直至 E' 中包含 n-1 条边为止。

9-7 单源最短路径

1、迪杰斯特拉（Djikstra）算法：一种最常见的求单源最短路径算法。
这里所说的最短路径是指路径上边的权值之和最小。
2、单源最短路径问题：给定带权的有向图和源点v0，求从 v0 到其余点的最短路径。

十、排序（鸽）