有限元-二维有限元编程（矩形区域、三角剖分）

有限元-矩形区域三角剖分程序

本文将介绍矩形区域上Poisson方程$-\Delta u=f,\Delta =\frac{\partial }{\partial x^2}+\frac{\partial }{\partial y^2}$的有限元程序编写，包括主要包括三角网格剖分，基函数构造以及函数在任意三角区域二重积分的计算。进一步构造基函数的相关偏导数，荷载向量，刚度矩阵以及替换边界值。

为了使过程清晰，每一部分的详细单独写了分析过程。

理论部分

对于在区域$\Omega$上Poisson问题：$-\Delta u=f,\Delta =\frac{\partial }{\partial x^2}+\frac{\partial }{\partial y^2}$其中$u$满足如下边值条件：$u{|}_{\partial \Omega }=\alpha (x,y)$，它等价的变分形式为：求$u\in H^1(\Omega ),u{|}_{\partial \Omega }=\alpha (x,y)$，使$a(u,v)=(f,v)$，对任意$v\in H_0^1(\Omega )$成立，其中$a(u,v)={\iint }_{\Omega }(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y})dxdy$，$(f,v)={\iint }_{\Omega }fvdxdy$。

过程：将区域$\Omega$剖分为$NE$个小三角形，即节点个数为$NP$，则有

$$\begin{gathered} a(u,v)={\iint }_{\Omega }(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y})dxdy \\ ={\sum }_{l=1}^{NE}{\iint }_{e_l}(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y})dxdy \end{gathered}$$

$(f,v)={\iint }_{\Omega }fvdxdy$

单元刚度矩阵：

在单元$e_l$上，有$u(x,y)\approx u_i{K}_i(x,y)+u_j{K}_j(x,y)+u_m{K}_m(x,y)$，同样，可以使用如上基函数对$v(x,y)$逼近，即

$$v(x,y)\approx v_i{K}_i(x,y)+v_j{K}_j(x,y)+v_m{K}_m(x,y)$$

其中，$u_i,v_i$分别是函数$u(\cdot ,\cdot )$和$v(\cdot ,\cdot )$在$x_i,y_i$处的取值，$u_j,u_m$类似。需要注意到点$(x_i,y_i),(x_j,y_j)$和$(x_m,y_m)$是三角单元$e_l$的顶点。

因此

∬ e l ( ∂ u ∂ x ∂ v ∂ x + ∂ u ∂ y ∂ v ∂ y ) d x d y = ∬ e l [ v i v j v m ] [ k i i k i j k i m k j i k j j k j m k m i k m j k m m ] [ u i u j u m ] d x d y \iint_{e_l}(\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial v}{\partial y})dxdy\\=\iint_{e_l}\begin{bmatrix}v_i&v_j&v_m \end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_{ii}&k_{ij}&k_{im} \\k_{ji}&k_{jj}&k_{jm} \\k_{mi}&k_{mj}&k_{mm} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_i\\u_j\\u_m \end{bmatrix}dxdy ∬el​​(∂x∂u​∂x∂v​+∂y∂u​∂y∂v​)dxdy=∬el​​[vi​​vj​​vm​​] ​kii​kji​kmi​​kij​kjj​kmj​​kim​kjm​kmm​​ ​ ​ui​uj​um​​ ​dxdy

其中$k_{st}=(\frac{\partial K_s}{\partial x}\frac{\partial K_s}{\partial x}+\frac{\partial K_t}{\partial y}\frac{\partial K_t}{\partial y}),s,t=i,j,m$

记矩阵 [ K e ] = ∬ e [ k i i k i j k i m k j i k j j k j m k m i k m j k m m ] d x d y [K_e]=\iint_{e}\begin{bmatrix}k_{ii}&k_{ij}&k_{im} \\k_{ji}&k_{jj}&k_{jm} \\k_{mi}&k_{mj}&k_{mm} \end{bmatrix}dxdy [Ke​]=∬e​ ​kii​kji​kmi​​kij​kjj​kmj​​kim​kjm​kmm​​ ​dxdy为单元刚度矩阵。

单位荷载向量：

同理可得 ( f , v ) = ∬ e l f v d x d y             = ∬ e l [ v i v j v m ] [ K i K j K m ] f ( x , y ) d x d y (f,v) = \iint_{e_l}fvdxdy\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\iint_{e_l}\begin{bmatrix}v_i&v_j&v_m \end{bmatrix}\begin{bmatrix}K_{i}\\K_{j}\\K_{m}\end{bmatrix}f(x,y)dxdy (f,v)=∬el​​fvdxdy           =∬el​​[vi​​vj​​vm​​] ​Ki​Kj​Km​​ ​f(x,y)dxdy，

记向量 { F e } = ∬ e [ K i K j K m ] f ( x , y ) d x d y \{F_e\}=\iint_{e}\begin{bmatrix}K_{i}\\K_{j}\\K_{m}\end{bmatrix}f(x,y)dxdy {Fe​}=∬e​ ​Ki​Kj​Km​​ ​f(x,y)dxdy

对于不同的单元$e_l,l=1,2,\mathrm{3...}NE$来说，其对应的$i,j,m$是不一样的，因此，为使在不同单元上的单元刚度矩阵和单元荷载能够求和，将单位刚度矩阵和单位荷载向量分别扩充为$NP\times NP$的矩阵和$NP\times 1$的向量，如下：

[ K e ] ˉ = ∬ e [ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ k i i ⋯ k i j ⋯ k i m ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ k j i ⋯ k j j ⋯ k j m ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ k m i ⋯ k m j ⋯ k m m ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ] d x d y \bar{[K_e]}=\iint_{e}\begin{bmatrix} & \vdots& &\vdots & &\vdots & \\ \cdots& k_{ii}&\cdots&k_{ij}&\cdots&k_{im}&\cdots \\ & \vdots& &\vdots & &\vdots & \\ \cdots&k_{ji}&\cdots&k_{jj}&\cdots&k_{jm}&\cdots \\ & \vdots& &\vdots & &\vdots & \\ \cdots&k_{mi}&\cdots&k_{mj}&\cdots&k_{mm}&\cdots \\ & \vdots& &\vdots & &\vdots &\end{bmatrix}dxdy [Ke​]ˉ​=∬e​ ​⋯⋯⋯​⋮kii​⋮kji​⋮kmi​⋮​⋯⋯⋯​⋮kij​⋮kjj​⋮kmj​⋮​⋯⋯⋯​⋮kim​⋮kjm​⋮kmm​⋮​⋯⋯⋯​ ​dxdy

{ F e } ˉ = ∬ e [ ⋮ K i ⋮ K j ⋮ K m ⋮ ] f ( x , y ) d x d y \bar{\{F_e\}}=\iint_{e}\begin{bmatrix}\vdots\\K_{i}\\\vdots\\K_{j}\\\vdots\\K_{m}\\\vdots\end{bmatrix}f(x,y)dxdy {Fe​}ˉ​=∬e​ ​⋮Ki​⋮Kj​⋮Km​⋮​ ​f(x,y)dxdy

上面两个矩阵中，其中虚点表达0元素，也就是在矩阵$\overline{[K_e]}$中至多有九个非零元，非零元的位置如上；在$\overline{\{F_e\}}$中至多有三个非零元，非零元的位置如上。记 U = [ u 1 u 2 ⋮ u N P ] U = \begin{bmatrix} u_1\\u_2\\\vdots\\u_{NP}\end{bmatrix} U= ​u1​u2​⋮uNP​​ ​, V = [ v 1 v 2 ⋮ v N P ] V = \begin{bmatrix} v_1\\v_2\\\vdots\\v_{NP}\end{bmatrix} V= ​v1​v2​⋮vNP​​ ​

记$\bar{K}={\sum }_l^{NE}\overline{[K_{e_l}]}$，$\bar{F}={\sum }_l^{NE}\stackrel{ˉ}{\{F_{e_l}\}}$

则$a(u,v)=(f,v)$近似于$V^T\bar{K}U=V^T\bar{F}$，即$V^T(\bar{K}U-\bar{K})=0$,由于$v(x,y)$的任意性，因此对于任意的$V$，$V^T(\bar{K}U-\bar{F})=0$总是成立的，故$\bar{K}U-\bar{F}=0$。

理论可能写的不够详细，感觉有点乱，见谅。

网格剖分

在有限元-区域划分博客中，已经着重介绍了矩形区域上三角网格的剖分，包括保存节点位置的矩阵$Pos$和保存三角形顶点位置的连接矩阵$T$，将其封装为函数，如下

function [pos,T] = FE_grid(X,Y,nx,ny)
% 三角网格划分
% 输入参数区间X,区间Y,nx为X中划分的区间个数，ny为Y中划分的区间个数；
% 输出参数pos为节点位置，T为三角网格划分后三角形的三个节点位置(连接矩阵，维度3*N)；
% 该矩阵每一列从上到下为逆时针节点位置；
% lenx与leny分别为X与Y划分后的节点数量；
hx = (X(2)-X(1))/nx;                                       
hy = (Y(2)-Y(1))/ny;
x = X(1):hx:X(2);
y = Y(1):hy:Y(2);
lenx = length(x);
leny = length(y);
pos = zeros(2,lenx*leny);
for i = 1:leny
    pos(1,(1 + (i-1)*lenx):i*(lenx)) = x;
    pos(2,(1 + (i-1)*lenx):i*(lenx)) = y(i);
end
T = zeros(3,2*(lenx-1)*(leny-1));
for i = 1:(lenx-1)*(leny-1)
    row = ceil(i/(lenx-1))-1;
    list = i - row * (lenx - 1);
    % 第 i 个正方形的四个顶点为 x_row x_(row+1) y_list y_(list+1)
    % 根据这四个顶点信息，我们可以构造不同形状的三角网格。
    T(1,2*i-1) = row * lenx + list;
    T(2,2*i-1) = (row + 1) * lenx + (list + 1);
    T(3,2*i-1) = (row + 1) * lenx + list;
    T(1,2*i) = row * lenx + list;
    T(2,2*i) = row * lenx + (list + 1);
    T(3,2*i) = (row + 1) * lenx + (list + 1);
end

基函数构造

在线性插值函数的基函数构造博客中，已经着重介绍了如何构造过不在同一直线上的三个点的平面，以及整理后得到的线性插值的基函数，这里将其封装，通过输入三个不在同一直线上的节点，返回三个插值基函数，具体函数如下：

function func = basis_function_2D(e_pos)
% 构造2D插值基函数，
% 即F(t,s) = f1*K1(t,s) + f2*K2(t,s) + f3*K3(t,s),
% 返回一个1*3的元胞数组，元素分别为3个基函数(K1,K2,K3)。
    p = (e_pos(1,2)-e_pos(1,1))*(e_pos(2,3)-e_pos(2,1)) - (e_pos(2,2)-e_pos(2,1))*(e_pos(1,3)-e_pos(1,1));
%     K1 = @(t,s)((e_pos(2,2)-e_pos(2,3))*t - (e_pos(1,2)-e_pos(1,3))*s + e_pos(1,2)*e_pos(2,3)-e_pos(1,3)*e_pos(2,2))/p;
%     K2 = @(t,s)((e_pos(2,3)-e_pos(2,1))*t - (e_pos(1,3)-e_pos(1,1))*s + e_pos(1,3)*e_pos(2,1)-e_pos(1,1)*e_pos(2,3))/p;
%     K3 = @(t,s)((e_pos(2,1)-e_pos(2,2))*t - (e_pos(1,1)-e_pos(1,2))*s + e_pos(1,1)*e_pos(2,2)-e_pos(1,2)*e_pos(2,1))/p;
    % 上面和下面的基函数写法都是正确的。
    K1 = @(t,s)((s-e_pos(2,2)).*(e_pos(1,3)-e_pos(1,2)) - (t-e_pos(1,2)).*(e_pos(2,3)-e_pos(2,2)))/p;
    K2 = @(t,s)((s-e_pos(2,3)).*(e_pos(1,1)-e_pos(1,3)) - (t-e_pos(1,3)).*(e_pos(2,1)-e_pos(2,3)))/p;
    K3 = @(t,s)((s-e_pos(2,1)).*(e_pos(1,2)-e_pos(1,1)) - (t-e_pos(1,1)).*(e_pos(2,2)-e_pos(2,1)))/p;
    func = cell(1,3);
    func{1} = K1;
    func{2} = K2;
    func{3} = K3;
end

函数在任意三角区域二重积分的计算

在函数在任意三角区域二重积分的计算博客中，已经着重介绍了任意三角区域二重积分的计算，在下面这个函数中，你只需要输入三角形三个顶点对应坐标以及函数$f1(x,y)$，就可以得到函数$f1(x,y)$在这三个点确定的三角区域上的二重积分值。

function I = triangle_integral(point,f1)
% 该函数用于求三角区域上函数的积分
x = point(1,:);
y = point(2,:);
X = x(2:3) - x(1);
Y = y(2:3) - y(1);
if X(1)>0
    sita = pi/2-atan(Y(1)/X(1));
elseif X(1)<0
    sita = -pi/2-atan(Y(1)/X(1));
else
    if Y(1)>0
        sita = 0;
    else
        sita = pi;
    end
end
A = [cos(sita) -sin(sita)
     sin(sita) cos(sita)];
P =A*([x;y]-[x(1);y(1)])+[x(1);y(1)];
xp = P(1,:);
yp = P(2,:);
fun = @(t,s) f1(cos(sita)*(t-x(1))+sin(sita)*(s-y(1))+x(1),-sin(sita)*(t-x(1))+cos(sita)*(s-y(1))+y(1));
% 下面描述积分区域边界
% 旋转变换以A为旋转点,旋转三角形ABC,使得边(AB)与y轴平行且Ay
% 从而,积分区间可以描述:y方向,下边界为边(AC),上边界为边(BC)
% x方向上为常数值,左端点为 min(P(1,:)),右端点为 max(P(1,:))
% A,B,C三点分别为P(:,1),P(:,2),P(:,3)
y_down = @(t) (yp(3)-yp(1))/(xp(3)-xp(1)).*(t-xp(1)) + yp(1);
y_up = @(t) (yp(3)-yp(2))/(xp(3)-xp(2)).*(t-xp(2)) + yp(2);
I = integral2(fun,min(xp),max(xp),y_down,y_up);

基函数偏导数的构造：

这个比较简单，因为基函数的具体形式已经给出，所以这里我们直接给出基函数偏导数的代码：

function [dx,dy] = diff_basis_fun(e_pos)
% 构造插值基函数的偏导数分别为K1x,K1y,K2x,K2y,K3x,K3y
% 注意到每个函数中都有(t-t+s-s)这样的一个和式，这并不影响函数本身的值
% 但在使用过程中，他将产生和输入一样维数的输出
    p = (e_pos(1,2)-e_pos(1,1))*(e_pos(2,3)-e_pos(2,1)) - (e_pos(2,2)-e_pos(2,1))*(e_pos(1,3)-e_pos(1,1));  
    K1x =@(t,s)t-t+s-s+(e_pos(2,2)-e_pos(2,3))/p;
    K2x =@(t,s)t-t+s-s+(e_pos(2,3)-e_pos(2,1))/p;
    K3x =@(t,s)t-t+s-s+(e_pos(2,1)-e_pos(2,2))/p;
    K1y =@(t,s)t-t+s-s+(e_pos(1,3)-e_pos(1,2))/p;
    K2y =@(t,s)t-t+s-s+(e_pos(1,1)-e_pos(1,3))/p;
    K3y =@(t,s)t-t+s-s+(e_pos(1,2)-e_pos(1,1))/p;
    dx = cell(1,3);
    dy = cell(1,3);
    dx{1} = K1x;
    dx{2} = K2x;
    dx{3} = K3x;
    dy{1} = K1y;
    dy{2} = K2y;
    dy{3} = K3y;
end

荷载向量的构造

根据理论知识可以构造荷载向量，代码如下：

F = zeros(p_b,1);
for i = 1:e_b
    e_pos = pos(:,T(:,i));
    b_func = basis_function_2D(e_pos);
    for j = 1:3
        b_f = b_func{j};
        b_f = @(t,s) b_f(t,s).*f(t,s);
        F(T(j,i)) = F(T(j,i)) + triangle_integral(e_pos,b_f);
    end
end

刚度矩阵的构造

刚度矩阵的构造同理：

A = sparse(p_b,p_b);
for i = 1:e_b
    e_pos = pos(:,T(:,i));
    [funcx,funcy]= diff_basis_fun(e_pos);
    for j = 1:3
        b_fx1 = funcx{j};
        b_fy1 = funcy{j};
        for k = 1:3
            b_fx2 = funcx{k};
            b_fy2 = funcy{k};
            % Laplace算子
            La_f =@(t,s) b_fx1(t,s).*b_fx2(t,s) + b_fy1(t,s).*b_fy2(t,s);
            A = A + sparse(T(k,i),T(j,i),triangle_integral(e_pos,La_f),p_b,p_b);
        end
    end
end

边界值的替换

最后处理边界点，首先找到边界点的对应的位置，将刚度矩阵中对应行替换为向量$(0,0,...0,1,0,...0)$，向量中1的位置为边界点对应在向量U中的位置，由于边界值是已知的，进一步替换荷载向量对应位置为所取边界值。

实例：

实例1：

这个实例是博客有限元方法入门：有限元方法简单的二维算例（三角形剖分）中使用的例子，$-\Delta u=f,u{|}_{\partial \Omega }=0$，其中$\Omega =(0,1{)}^2$且 $f=2{\pi }^2\sin (\pi x)\sin (\pi y)$，真解为$u(x,y)=\sin (\pi x)\sin (\pi y)$。

结果如下：

	数值解	误差图
$$\begin{gathered} nx=16 \\ ny=16 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} nx=32 \\ ny=32 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} nx=64 \\ ny=64 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} nx=128 \\ ny=128 \end{gathered}$$

实例代码

clc,clear,close all
nx = 128;
ny = 128;
X = [0,1];
Y = [0,1];
hx = (X(2)-X(1))/nx;                                       
hy = (Y(2)-Y(1))/ny;
[pos,T] = FE_grid(X,Y,nx,ny);
[~ ,p_b] = size(pos);
[~ ,e_b] = size(T);
% 构造荷载向量
% 右端函数
f = @(t,s) 2*pi^2*sin(pi*t).*sin(pi*s);
F = zeros(p_b,1);
for i = 1:e_b
    e_pos = pos(:,T(:,i));
    b_func = basis_function_2D(e_pos);
    for j = 1:3
        b_f = b_func{j};
        b_f = @(t,s) b_f(t,s).*f(t,s);
        F(T(j,i)) = F(T(j,i)) + triangle_integral(e_pos,b_f);
    end
end
 
% 构造刚度矩阵
A = sparse(p_b,p_b);
for i = 1:e_b
    e_pos = pos(:,T(:,i));
    [funcx,funcy]= diff_basis_fun(e_pos);
    for j = 1:3
        b_fx1 = funcx{j};
        b_fy1 = funcy{j};
        for k = 1:3
            b_fx2 = funcx{k};
            b_fy2 = funcy{k};
            % Laplace算子
            % La_f是刚度矩阵中单元上的求积函数
            La_f =@(t,s) b_fx1(t,s).*b_fx2(t,s) + b_fy1(t,s).*b_fy2(t,s);
            A = A + sparse(T(k,i),T(j,i),triangle_integral(e_pos,La_f),p_b,p_b);
        end
    end
end

% 修改边界条件
bound_xl = find(pos(1,:) == X(1));
bound_xr = find(pos(1,:) == X(2));
bound_yd = find(pos(2,:) == Y(1));
bound_yu = find(pos(2,:) == Y(2));
e = eye(p_b);
i_point = intersect(union(bound_yd,bound_yu),union(bound_xr,bound_xl));
A(i_point,:) = e(i_point,:);
% 获取边界点的位置
bound = union(union(bound_yd,bound_yu),union(bound_xr,bound_xl));
e = eye(p_b);
for i = 1:length(bound)
    A(bound(i),:) = e(bound(i),:);
    F(bound(i)) = 0;
end
u = A\F;
U = zeros(ny+1,nx+1); 
for i = 1:(ny+1)
    U(i,:) = u((i-1)*(nx+1)+1:i*(nx+1));
end
figure
[gridX,gridY] = meshgrid(X(1):hx:X(2),Y(1):hy:Y(2));
mesh(gridX,gridY,U)
F_k = @(x,y)sin(pi*x).*sin(pi*y);
colormap(parula(5))
figure 
mesh(gridX,gridY,F_k(gridX,gridY)-U)
colormap(parula(5))

实例2：

这个例子在《数值方法(MATLAB版)(第四版)》（John H.Mathews与Kurtis D.Fink所著）第402页例10.7，如下：

所得数值解

实例代码如下：

这段代码和上面的代码几乎一样，只是右端函数不同，以及边界处的赋值代码不一样：

clc,clear,close all
nx = 8;
ny = 8;
X = [0,4];
Y = [0,4];
hx = (X(2)-X(1))/nx;                                       
hy = (Y(2)-Y(1))/ny;
[pos,T] = FE_grid(X,Y,nx,ny);
[~ ,p_b] = size(pos);
[~ ,e_b] = size(T);
% 构造荷载向量
% 右端函数
f =@(t,s) 0;
F = zeros(p_b,1);
for i = 1:e_b
    e_pos = pos(:,T(:,i));
    b_func = basis_function_2D(e_pos);
    for j = 1:3
        b_f = b_func{j};
        b_f = @(t,s) b_f(t,s).*f(t,s);
        F(T(j,i)) = F(T(j,i)) + triangle_integral(e_pos,b_f);
    end
end
 
% 构造刚度矩阵
A = sparse(p_b,p_b);
for i = 1:e_b
    e_pos = pos(:,T(:,i));
    [funcx,funcy]= diff_basis_fun(e_pos);
    for j = 1:3
        b_fx1 = funcx{j};
        b_fy1 = funcy{j};
        for k = 1:3
            b_fx2 = funcx{k};
            b_fy2 = funcy{k};
            % Laplace算子
            % La_f是刚度矩阵中单元上的求积函数
            La_f =@(t,s) b_fx1(t,s).*b_fx2(t,s) + b_fy1(t,s).*b_fy2(t,s);
            A = A + sparse(T(k,i),T(j,i),triangle_integral(e_pos,La_f),p_b,p_b);
        end
    end
end

% 修改边界条件
bound_xl = find(pos(1,:) == X(1));
bound_xr = find(pos(1,:) == X(2));
bound_yd = find(pos(2,:) == Y(1));
bound_yu = find(pos(2,:) == Y(2));
e = eye(p_b);
for i = 1:length(bound_xl)
    % 左边界
    A(bound_xl(i),:) = e(bound_xl(i),:);
    F(bound_xl(i)) = 80;
    % 右边界
    A(bound_xr(i),:) = e(bound_xr(i),:);
    F(bound_xr(i)) = 0;
end
for i = 1: length(bound_yd)
    % 下边界
    A(bound_yd(i),:) = e(bound_yd(i),:);
    F(bound_yd(i)) = 20;
    % 上边界
    A(bound_yu(i),:) = e(bound_yu(i),:);
    F(bound_yu(i)) = 180;
end
i_point = intersect(union(bound_yd,bound_yu),union(bound_xr,bound_xl));
A(i_point,:) = e(i_point,:);
F(i_point) = [50;10;130;90];
% 获取边界点的位置
u = A\F;
U = zeros(ny+1,nx+1); 
for i = 1:(ny+1)
    U(i,:) = u((i-1)*(nx+1)+1:i*(nx+1));
end
figure
[gridX,gridY] = meshgrid(X(1):hx:X(2),Y(1):hy:Y(2));
surf(gridX,gridY,U)

注意：使用到的函数实例只是验证我们的代码可以求解问题。