# 数学有什么用
精读书《魔鬼数学》艾伦伯格
领悟：数学并不难；数学很有用。
## 最该学的数学知识
### 数学知识分类为四个象限
第一个象限：简单&浅显的数学知识。
比如：1+1；sinx，有的看起来复杂，但是理解上讲还是比较简单的。
第二个象限：复杂&浅显的数学知识。
比如：乘法不难，但是多位数的乘法；复杂的定积分计算等，就很难了。有计算器就会简单的多了。
第三个象限：复杂&深奥的数学知识。
比如：黎曼假设；费马定理；庞加莱猜想、哥德尔定理等等，数学专业的人感兴趣。研究需要天分。
第四个象限：**简单&深奥的数学知识**。特别需要注意——它们是入门知识，但是违反直觉，需要缜密的推理。
比如：对随机性的理解；对因果关系的理解；对回归的理解
举几个例子：**失踪飞机弹孔、比尔盖茨退学经商、股市基金收益率**——揭示了**“幸存者偏差”**（样本不全得出偏执结论，不符合全集概率）
小结：掌握这些简单而深奥的数学知识，就能让你戴上一副X射线眼镜，帮你透过现实世界错综复杂的表面现象看清本质。
思考：
1、**复利**也是重要的数学知识，进一步进一步的欢喜，并且有可能“荷塘效应”的指数增长。
2、**概率**选择决定时，做出利弊分析，支持决策。
# 语言和数学同宗
数学和聊天是一样的，只不过表达方式不同
## 数学题的两种表达方式
“沃森测试”：四张卡片“A”、“K”、“4”、“7”，规则是“卡片的一面是元音，另一面是偶数”。必须翻几张牌，才能保证卡片遵守这个规则。
>有这样一个规则：纸牌的一面是元音字母，另一面必然是偶数。那么现在推理，至少翻几张牌，才能验证这个规则？你的答案是什么？提示比一大比三小。如果翻转一张A，可以验证如果是元音，那么是偶数，掀开卡片4同样只能证明这条规则。**但规则中并没有说明如果偶数，另一面是什么情况**。**如果翻开7，就可以反向验证结果**。如果另一面是元音，就与规则相矛盾。为了全方位验证，我们必须翻A和7。这种做法不符合我们惯常的思维模式，就是我们的思维陷阱。我们更倾向验证现象和规则，不喜欢反驳。如果两个人都是这种思维，必然产生争吵：**每个人都在找别人的问题（证明自己是对的），却看不到自己的愚蠢（反驳自己的观点）**这个纸牌实验，100%的参试者人都进行了证明，只有59%的参试者进行了反驳。看来我们还有很大的进步空间。做推理的时候，我们喜欢做三件事：一是忽略反证；二是只尝试去证明，而不是反驳。三即使假设是错的，我们也不放弃。解决办法
**学会“否定后件”的提问方式。要求我们验证推理的错误**。这种思考方式让我们的大脑真正运转起来。
例如：
如果下雨了，街道就会湿。否定后件为，如果街道不湿，就没有下雨。
作者：素日时光
链接：https://www.jianshu.com/p/32b9169cd540
我的理解：我是人——不是人就不是我。必须条件结果互为充分必要条件才能够成立。
## 数学是种本能
来自于基斯.德夫林《数学犹聊天》（The Math Gene）
狮子能够从对方吼叫声中判断数量；小孩子通过观察能够确定排列堆放不一样的糖豆选取数量多的一堆。进化角度数学运算功能与语言同一脑部区域——额叶。语言发展并不只是沟通，随着环境复杂化发展出了离线思维。就是以抽象方式进行的“如果.....，该怎么办”的推理能力。
亚洲孩子数学好也得益于“1,2,3...”比“one、two、three.....”单音节比多音节容易交流，数学能力较强。
思考：找几本数学科普书是避免恐惧情绪的方法。
# 线性思维和它的误区
又一个简单&深奥的数学思维
## 预测未来最好的方法：线性思维
预测短期和长期时有很大确定性，简单的办法就是“线性思维”。线性趋势分为：硬趋势、软趋势，前者是可以测量或感知的；后者是似乎可以看到、似乎可以退测出来的。比如：CPU处理速度会越来越快是硬趋势，而哪家公司会最先开发出来只能预测是个软趋势。
相对来说预测中期更为复杂，中间有许多转折点，波动非常大。中期还有些现象是周期性的，比如农业中播种和收割。噪音多、规律复杂，会遇到波动、周期，很难精准预测。判断出转折点是关键。
## 线性外推的误区
不是所有趋势都是线性的，如同微积分一样，将间隔无限小是线性的没错，可是从大局来看积分曲线才是真正的形状。比如：小孩子不断长个子，但不能推断出它一直会以同样的速度不停长下去。大部分社会调查“正态分布”才是大概率的社会现状。
各种非线性关系在局部看起来确实很像线性关系，要看局部，更要看大局。
# 零假设和显著性检验
还是一个简单&深奥的数学思维。
通常找到一个支持证据就放手运用结论了。而且会忽略这种联系到底存在吗？存在的话是相关关系？还是因果关系？
## 零假设：
好比抓到一个嫌疑人，先要假设他没有犯罪。
有了零假设，然后做实验、收集证据，推翻零假设。这个过程解决“联系存在”。本质是“归谬法”证明命题正确，先假设它不正确，然后推理出荒谬的结论，从而由假设错误反证推导出命题是正确的。
## 显著性检验：
以上推导中推出的荒谬结论我们不能斩钉截铁的说不会发生，只能说发生的概率非常小，所以零假设几乎是不正确的，所以原命题大概率是正确的。
### 显著性检验的程序介绍一下：
第一步：开始实验。
第二步：假定零假设成立。
第三步：观察实验结果中出现事件O的概率，我们把这个概率称为P值。P值反映的是零假设成立的可能性。
第四步：如果P值很小，我们就认为实验结果满足零假设的可能性很小，你可以通过这种归谬法判断，你原来想检验的猜想具有统计学上的显著性。如果P值很大，我们就得承认零假设还没有被推翻。
## 显著性检验其实是“不显著”
* P值一般约定俗成为<0.05,但是没有那样泾渭分明，可能差一点就会被篡改数据，把结果改为“有显著性”
* 不能假设一种因素一定会有影响力。如果太想确定结论，有可能操纵实验。
* 误解“显著性”，统计学的显著性能够推翻“零假设”，仅仅证明联系存在，并不能证明效果重大——即有相关性，但不是一定很大相关性，更不能证明绝对因果关系。
思考：统计学中的零假设和显著性检验的概念。我们人类容易盲目轻信，习惯在没有联系的事物之间想象出因果关系。为了避免这种错误，我们要借鉴归谬法的思路，用零假设和显著性检验来一步步推理。所谓的零假设，就是要先假设毫无关系、毫无作用，然后，我们再观察实验结果中出现异常情况的概率，如果出现异常情况的概率较高，我们就说，可以推翻原来的零假设，我们发现了统计上的显著性。但是，显著性检验也有误区。所以，统计也是会撒谎的，你得擦亮眼睛。
# 为什么很多人觉得数学很难？
数学是要一层层抽象，越抽象越难理解。但是数学家在处理难题时，一样要简化，尽可能把抽象的问题形象化，才能得出从深奥复杂的解答。
## 数学思维是本能
二维空间意识：数量、远近
三维空间意识：高低
四维空间意识：加入时间的因果思维
经过一次次的抽象后，彻底遗忘真实世界，专注于定义和概念了。
## 抽象能力被遗忘
巴西贫民窟里的孩子数学不好，可是摆摊时很会算账，数学能力很强。不注重数学的应用，没有数学思维能力，代数、微积分学习时丧失了抽象能力，觉得数学太难了。
## 四种抽象层次
第一层：“眼见为实”一把椅子挪到另一个房间还是那把椅子吗？不少动物都能具备这种能力。
第二层：“想到为实”房间里面没有“马”，不妨碍我们想象出马的样子。当下环境看不到，但确实越笨熟悉的事物。
第三层：“眼见为虚”只有人类才有。原本没有“龙”，但我们融合各种动物，创造出一种虚幻。这都是有了概念后，抽象出来的。
第四层：“想到为虚”这是数学思维层次。数学对象全然抽象。不如“0”现实中根本没有，这是更高层次额的抽象。这个层次中还在不断的抽象比如：1+2=2+1......模式还分简单和复杂。
## 数学家如何解题
波利亚的解题技巧：
首先，从熟悉的题出发。先想想有没有非常熟悉的数学题，从它开始，进行更复杂的推理。
其次，把复杂的题目简化，做出即使是非常荒谬的假设，从最简单的模型，慢慢再复杂化。从特殊的例子延伸到一般，
再次，把抽象的题目形象化。从几何角度找到代数答案。
总之，像乐高积木一样看起来复杂，仔细看是由一个个简单模块拼装起来的。
>德夫林在《数学犹聊天》中虚构了一个奇怪的世界，这个世界里，如果一对男女结为夫妻，还可以再跟第三者结婚，结婚之后，新的伴侣和原来的伴侣拥有同样的权利。这描述的是什么呢，其实就是分配率，（a+b）c=ac+bc。试着把数学的语言转化为日常的语言，把复杂的数学语言转化为简单的数学语言，能够方便你更好地理解和记忆数学知识。