八大排序详解 (图文 + c++代码)

基本性质：

稳定性：未排序的$R_i,R_j$的关键字相等$ke{y}_i=ke{y}_j$，若排序之后$R_i,R_j$相对位置不变，则该排序算法是稳定的，否则是不稳定的。

内部排序：排序期间元素全部在内存中。
外部排序：排序期间元素无法全部同时放入内存，需要不断地在内、外存之间切换。

一.插入排序

插入排序分为排序序列、待排序列。每次将待排序列的一个元素插入到已排好序列里面。

1.直接插入

\qquad 即将序列分成有序、无序的两部分，初始时有序部分为最左边1个，无序部分为右边的n-1个。
\qquad 通过n-1趟排序，每一趟将右边无序部分的第一个元素插入到左边有序部分中（边比较边移动），最终获得排序序列。

//1.插入排序
void insertsort(int a[],int n) {  //直接插入，O(n^2),稳定
	int i, j;
	for (i = 2; i <= n; i++){
		if (a[i - 1] > a[i]) {    
			a[0] = a[i];			//哨兵
			for (j = i - 1; a[j] > a[0]; j--)	//判断条件为a[j] > a[0]
				a[j + 1] = a[j];  //比a[i](哨兵)大的后移
			a[j + 1] = a[0];     //哨兵归位
		}
	}
}

\qquad 每一趟，我们需要将a[j]与他前面的元素比较。在此我们将a[0]=a[j]，设a[0]为哨兵，减少了越界的判断。
\qquad 每次只需要比较a[j-1]与a[0]的大小，a[j-1]>a[0]，就将a[j-1]复制后移即可。最后将a[0]回归到正确位置。

小技巧:

1. 通过哨兵，减少了对是否越界的判断（因为到a[0]就会停止）
2. 通过赋值，来交换元素的值(快排亦有应用)

平均	最坏	最好	稳定性	空间	适用
$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n)$	稳定	$O(1)$	顺序表、线性表

适合于基本有序的排序表和数据量不大的排序表。

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2.折半插入

每趟插入我们需要做两件事：
\qquad 1.找到元素插入的位置
\qquad 2.给插入的元素挪空间
\quad 前面的直接插入，我们是每次边比较边移动，而折半插入将比较和移动分开，先用二分查找找到插入位置，再将元素整体后移，再插入。

void halfinsert(int a[], int n) {  //折半插入,O(n^2),稳定
	int i, j, low, high, mid;
	for (i = 2; i <= n; i++) {
		a[0] = a[i];
		low = 1, high = i - 1;
		while (low <= high) {		//<=，因为在等于时也要处理
			mid = (low + high) / 2;
			if (a[mid] > a[0]) high = mid - 1;  //保证high后面的都大于a[i]
			else low = mid + 1;
		}
		for (j = i - 1; j >= high+1; j--)   //将high后面的集体后移
			a[j + 1] = a[j];
		a[high + 1] = a[0];				//哨兵归位
	}
}

平均	最坏	最好	稳定性	空间	适用
$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n)$	稳定	$O(1)$	顺序表

相比于直接插入减少了比较次数，移动次数不变。复杂度稳定性也不变。

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3.希尔排序

shell排序又称缩小增量排序。
\qquad 具体步骤：先取步长 $d_1$，我们将排序表分为 $d_1$ 个 $L[i,i+d_1,i+2d_1,...,i+k{d}_1]$ 的子表 $(i=0,1,..,d-1)$，即把相邻 $d_1$ 的元素组成一个子表。对每个子表进行直接插入排序，然后继续选择$d_2<d_1$，继续进行排序。

一般取$d_1=n/2，d_{i+1}=\lfloor d_i/2\rfloor ，d_{最后}=1$

void shellsort(int a[], int n) {    //希尔排序，最坏O(n^2),最好O(n^1.3),不稳定
	int dk, i, j;					//对大量数据极其有效！
	for (dk = n / 2; dk >= 1; dk = dk / 2)	//不同步长dk
		for (i = dk + 1; i <= n; i++)
			if (a[i] < a[i - dk]) {
				a[0] = a[i];
				for (j = i - dk; j > 0 && a[0] < a[j]; j = j - dk)	//处理移动时，前一个是i-dk，每次j=j-dk
					a[j + dk] = a[j];		//后一个为j+dk
				a[j + dk] = a[0];	 //哨兵归位
			}
}

平均	最坏	最好	稳定性	空间	适用
	$O(n^2)$	$O(n)$	不稳定	$O(1)$	顺序表

具体时间负责度由增量序列决定，n为某个范围时可取到$n^{1.3}$，最坏时为$O(n^2)$

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二.交换排序

交换排序即通过比较关键字的大小来交互这两个元素的位置。

1.冒泡排序

\qquad 进行n趟，每一趟从后向前两两比较相邻元素的值，若逆序(a[i-1]>a[i])即交换。
\qquad 每一趟均可将序列中的最小值，放到序列的最终位置上，若没有交换(flag==0)，即已经有序。

void bubblesort(int a[], int n) {  //冒泡排序，O(n^2),稳定
	bool flag;						//对大量数据极其低效！
	int i, j;
	for (i = 0; i < n-1; i++) {  //计数n趟
		flag = 0;    //判断是否有交换
		for (j = n-1; j > i; j--)   //从尾向头遍历
			if (a[j - 1] > a[j]) {	 //逆序即交换
				swap(a[j], a[j - 1]);
				flag = 1;
			}
		if (flag == 0)  //无交换停止
			return;
	}
}

平均	最坏	最好	稳定性	空间	适用
$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n)$	稳定	$O(1)$	顺序表

因为添加了flag判断是否有交换，无交换结束，所有顺序时为O(n)。

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2.快速排序

\qquad 快速排序是利用分治法的思想，每次选择一个枢轴元素pivot(一般取首元素)，通过一趟排序将待排序表 L[1…n] 分成两个独立的部分：L[1…k-1] 、 L[k+1…n] 。
\qquad 使得 L[1…k-1] 中所有元素均 $\le$ pivot，L[k+1…n] 中所有元素都 $\ge$pivot，pivot处在其最终位置 L[k] 上。然后继续对左右两部分递归进行。
\qquad 划分操作 partition：每次划分操作将pivot放到最终位置，且将原序列划分为 $\le$pivot 和 $\ge$pivot 到两个子序列。快排是交换排序是因为在划分子序列的过程中，我们需要交换两个子序列的值。为了减小时间复杂度，快排不是直接3次赋值交换，而是通过一次左右赋值实现，每次交换只需要一次赋值，大大降低了复杂度，最后 low==high 时停止，最后把pivot赋值给 a[low] 或者 a[high] 。

\qquad 赋值操作：从右开始，high指针左移到第一个小于pivot的元素，将其赋给a[low](取第一个元素为pivot)。此时a[high]不变，接着low指针右移到第一个大于pivot到元素，将其赋给a[high]。此时a[low]不变。
\qquad 就这样不断左右赋值，使得low左边全都小于pivot，high右边全都大于pivot。当low==high时结束，最后我们将pivot放到low/high到位置即可。

//快排：每次确定枢纽元素的正确位置。划分过程：先右后左，一次交替赋值达到交互目的，降低复杂度
int partition(int a[], int low, int high) {  //一趟划分，确定基准元素+交互两边使得有序
	int pivot = a[low];
	while (low < high) {	 //最终 low==high 停止,停在最后一个被赋值移动的元素上
		while (low < high && a[high] >= pivot)	high--;		//从右找到第一个 
		a[low] = a[high];	

		while (low < high && a[low] <= pivot)	low++;		//从左找到第一个 >pivot的:a[low]		
		a[high] = a[low];   
	}
	a[low] = pivot;		 //哨兵t归位（此时high=low，任选一个即可）
	return low;
}

void quicksort(int a[], int low,int high) {  //O(nlogn),不稳定，平均最优，最差O(n^2)
	if (low < high) {
		int pivot = partition(a, low, high);
		quicksort(a, low, pivot - 1);
		quicksort(a, pivot + 1, high);
	}
}

平均	最坏	最好	稳定性	空间	适用
$O(nlogn)$	$O(n^2)$	$O(nlogn)$	不稳定	$O(logn)-O(n)$	顺序表

快排是所有内部排序算法中平均性能最优的排序算法!!!

快排是递归操作需要递归工作栈，最坏是待排序列有序序列，需要$O(n)$空间$O(n^2)$的时间，最好是每次对半划分，需要$O(logn)$空间$O(nlogn)$时间，平均需要$O(logn)$空间$O(nlogn)$时间。

快排每趟均会把枢轴元素(pivot)放到最终的位置上。

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三.选择排序

选择排序：每一趟选择出待排序列中关键字最小的元素。

1.简单选择排序

每次选出最小的元素，比较次数与序列初始状态无关，总是$\frac{n(n-1)}{2}$次

void selectsort(int a[], int n) {		//简单选择,O(n^2),不稳定
	int minp, j;
	for (int i = 0; i < n-1; i++) {
		minp = i;  	 //只需要最小值的索引即可
		for (j = i + 1; j < n; j++) 
			if (a[j] < a[minp]) 
				minp = j;
		if (minp != j)      
			swap(a[i], a[minp]);
	}
}

平均	最坏	最好	稳定性	空间	适用
$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n^2)$	不稳定	$O(1)$	顺序表

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2.堆排序

堆即顺序存储的完全二叉树。一维数组 $⟶$ 看作是完全二叉树
大根堆：孩子结点均小于父结点的堆。
小根堆：孩子结点均大于父结点的堆。

堆排序过程：
\qquad 1.构造初始堆
\qquad 2.排序：不断将堆顶与堆末端交换 ，然后调整剩下的堆

调整：对以 $i$ 为根的子树进行调整，将根 i 其与左右子间最大子进行比较，若大于则无需调整。若小于，则将根与较大的结点交换位置，对交换位置的根继续进行向下筛选。

1.建堆：现有一个n个结点的完全二叉树最后一个叶子为 n ，其父结点为$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$，我们对以$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor$为根结点的子树进行筛选，是该子树成为堆。
我们依次对以 $\lfloor \frac{n}{2}\rfloor \to 1$ 为根的子树进行筛选，子树每一层都进行调整，使得每个子树都为根。

输出堆顶：输出堆顶元素后，将堆的最后一个元素与堆顶元素交换。对根进行筛选，调整回堆。

2.排序：对于建好的堆(1～n)，每次将根（最大值）和堆的末端交换swap(a[1],a[n])，然后调整堆(1~n-1)。接着对堆(1~n-1)进行同样的操作，直至堆只剩下1个元素

EX.插入：将新元素插入堆的末端，然后向上

//调整
void heapadjust(int a[], int k, int len) {	//对以i为根的子树进行调整
	a[0] = a[k];
	for (int i = 2 * k; i <= len; i = 2 * i) {  //每次向下一层
		if (i < len&& a[i] < a[i + 1])
			i++;				//i为较大子
		if (a[0] >= a[i])      //满足堆性质，不需要调整
			break;
		else {
			a[k] = a[i];    //将左右子较大者与根交换
			k = i;			//同时将根调整到被交换的位置上
		}
	}
	a[k] = a[0];
}

//建大根堆
void bulidmaxheap(int a[],int len){
	for(int i=len/2;i>=1;i--) //对根 n/2～1 均调整一遍
		heapadjust(a,i,len);
}

//堆排序
void heapsort(int a[],int len){
	build a heap(a,len);
	for(int i=len;i>1;i—-){
		swap(a[i],a[1]);   //每次将最大值根交换到后面去
		heapadjust(a,1,i-1);//对剩下的同样操作
	}	
}

平均	最坏	最好	稳定性	空间	适用
$O(nlogn)$	$O(nlong)$	$O(nlogn)$	不稳定	$O(1)$	顺序表

建堆时间 $O(n)$，排序过程需要 $n-1$ 次调整，每次调整$O(logn)$。堆排序最坏、最好、平均情况均是 $O(nlogn)$，与归并排序相同。

适合关键字较多的情况，比如从1亿个数中选出前100个最大的值?
使用大小为100的数组，建立小根堆，依次读入所有值，若小于堆顶则舍弃，若大于堆顶则取代堆顶并重新调整堆。读完数据，堆中100个数即为所求。

元素间比较次数：每次都是左右子间一次比较，较大者与父结点一次比较。若只有一个孩子，则没有左右点间比较，只有父子间一次比较。

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四.归并排序

归并：将两个或以上的有序表合并成一个新的有序表。
归并排序也是基于分治法思想，对于n个元素的归并排序，先将n个元素划分成 n 个长为 1 的有序子表，再将这些子表两两归并，得到$\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 个长为2 或 1的有序子表，继续两两归并….
一趟归并：对所有子表进行一次两两归并。
n个元素共$\lceil logn\rceil$趟。

归并操作：将前后相邻的两个有序表合并成一个新的有序表，需要一个辅助数组B[n]。

int b[N+1]; //辅助数组
void merge(int a[],int low,int mid,int high){
	for(int k=low;k<=high;k++)
		b[k]=a[k];   //把a所有元素复制到b中
	int i,j;
	for(i=low,j=mid+1,k=low;i<=mid&&j<=high;){
		if(b[i]<=b[j])
			a[k++]=b[i++];
		else
			a[k++]=b[j++]
	}
	while(i<=mid) a[k++]=b[i++];  //将剩余部分放后面去
	while(j<=high) a[k++]=b[j++];
}

void mergesort(int a[],int low,int high){
	if(low<high){
		int mid=(low+high)/2;
		mergesort(a,low,mid);
		mergesort(a,mid+1,high);  //递归
		merge(a,mid,high);			//合并
	}
}

平均	最坏	最好	稳定性	空间	适用
$O(nlogn)$	$O(nlong)$	$O(nlogn)$	稳定	$O(n)$	顺序表

n个元素的归并排序，刚好需要n个空间，空间复杂度是 $O(n)$
每趟是O(n)，共 $\lceil logn\rceil$ 趟，故时间复杂度是 $O(nlogn)$

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五.基数排序

\qquad 与前面所有排序方法不一样，基数排序不基于比较和移动，而是基于关键字各位的大小进行排序，所以可以进行基数排序的元素必须具有基数radix——基数即基本单元数，即进制(radix)，十进制基数为10（基本单元为0123456789）。
如果是十进制数，可以根据个位、十位、百位…等位进行排序，同样也可对浮点数排序。

1.最高位优先(MSD)：
\qquad 从高位到低位，逐层划分成若干子序列，依次进行排序，然后将所有子序列依次连接成一个有序序列。
2.最低位优先(LSD)：(重要)
\qquad 按由低到高的顺序排序，每次都是对整个序列整体操作，不产生子序列。

以最低位优先基数排序为例，对于 $n$ 个结点 $a_0,a_1,...,a_{n-1}$，每个结点值为 $d$ 位 $r$ 进制整数，就要做 d 次“分配”和“收集”。
分配：将 $q[0],q[1],...,q[r-1]$各个队列置成空队，依次考查每个结点 $a_i$，$(i=0,1,...,n-1)$，第 $j$ 位为$k$，就放入 $q[k]$队列中。
收集：将 $q[0],...,q[r-1]$各个队列中的结点首尾相接，得到新的结点序列，从而得到新的链表。

int maxbit(int a[], int n) {	//求数据的最大位数d  O(n)
	int maxData = a[0];              ///< 最大数
	/// 先求出最大数，再求其位数，这样有原先依次每个数判断其位数，稍微优化点。
	for (int i = 1; i < n; ++i)
		if (maxData < a[i])
			maxData = a[i];
	
	int d = 1;
	while (maxData >= 10){
		maxData /= 10;
		++d;
	}
	return d;  
}
void radixsort(int a[], int n) {	 //基数排序,r=10(10进制)

	int d = maxbit(a, n);		 //最大位数 d ,d次分配+收集
	int* tmp = new int[n];
	int* count = new int[10];	//计数器
	int i, j, k;
	int radix = 1;
	for (i = 1; i <= d; i++) {	//进行d次排序
		for (j = 0; j < 10; j++)
			count[j] = 0;		//每次分配前清空计数器
		for (j = 0; j < n; j++){
			k = (a[j] / radix) % 10; //统计每个桶中的记录数
			count[k]++;
		}
		for (j = 1; j < 10; j++)
			count[j] = count[j - 1] + count[j]; //将tmp中的位置依次分配给每个桶
		for (j = n - 1; j >= 0; j--){	 //将所有桶中记录依次收集到tmp中
			k = (a[j] / radix) % 10;
			tmp[count[k] - 1] = a[j];
			count[k]--;
		}
		for (j = 0; j < n; j++) //将临时数组的内容复制到data中
			a[j] = tmp[j];
		radix = radix * 10;
	}
	delete[]tmp;
	delete[]count;
}

平均	最坏	最好	稳定性	空间	适用
$O(d(n+r))$	$O(d(n+r))$	$O(d(n+r))$	稳定	$O(r)$	顺序表

n个 r进制(radix进制)，d位数(digit位数)，进行排序 $⟶$ n个元素，r个队列，d次分配收集
要进行 d 趟分配+收集，一趟分配:O(n)，一趟收集:O(r)

位数 d 越少，复杂度越小。10进制下,$O(d(n+10))$，可以只看 $O(dn)$
小于15位时，基数排序明显快于一众O(nlogn)的排序(快排，归并，堆排)，当$d=15$ 时，$O(15n)\approx O(nlogn)$ 。
int型整数的范围为$-2^{32}\sim 2^{32}-1$即 -2147483648~2147483647，共10位，int型整数的排序基本上基数排序/桶排序 快于O(nlogn)
比较排序的极限是$O(nlogn)$，分配排序是O(n)).

内部排序算法比较：

排序方法	平均	最坏	最好	空间	稳定性
直接插入排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n)$	$O(1)$	稳定
希尔排序		$O(n^2)$	$O(n)$	$O(1)$	不稳定
简单选择排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(1)$	不稳定
堆排序	$O(nlogn)$	$O(nlogn)$	$O(nlogn)$	O(1)	不稳定
冒泡排序	$O(n^2)$	$O(n^2)$	$O(n)$	O(1)	稳定
快速排序	$O(nlogn)$	$O(n^2)$	$O(nlogn)$	O(logn)	不稳定
归并排序	$O(nlogn)$	$O(nlogn)$	$O(nlogn)$	O(n)	稳定
基数排序	$O(d(n+r))$	$O(d(n+r))$	$O(d(n+r))$	O(r)	稳定