数据结构复习（2）图

五、图

图是一种多对多的关系。

图(Graph)是由顶点的有穷非空集合和顶点之间边的集合组成，通常表示为: G(V,E)，其中，G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。

5.1 图的类型

• 无向图

  图中任意两顶点之间的边都是无向边，则该图为无向图(Undirected graphs)。一般使用小括号表示“（）”。

• 有向图

  图中任意两顶点之间的边都是有向边，则该图为有向图(Directed graphs)。一般使用尖括号表示“<>”。

• 完全图

  • 无向完全图: 在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。(含有n个顶点的无向完全图有(n×(n-1))/2条边)
  • 有向完全图: 在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向互为相反的两条弧，则称该图为有向完全图。(含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边）

5.2 名词解释

• 邻接

  无向图中若两个顶点之间有边，则称之为邻接。

  有向图中若存在边 ，则称v1和v2邻接（单向，视边的方向定）

• 度

  顶点V_i的度（Degree）是指在图中与V_i相关联的边的数量。对于有向图来说，有入度(In-degree)和出度(Out-degree)之分，有向图顶点的度等于该顶点的入度和出度之和。

• 路径

  从顶点V_i出发有一组边可到达顶点V_j，则称顶点V_i到顶点V_j的顶点序列为从顶点V_i到顶点V_j的路径(Path)。

  出发点和结束点相同的称为环。序列中顶点不重复的路径称为简单路径。

• 连通

  若从顶点V_i到顶点V_j有路径可达，则称两顶点连通。若图中任意俩顶点都连通，则称该图为连通图。

• 权

  有些图的边或弧具有与它相关的数字，这种与图的边或弧相关的数叫做权(Weight)。

5.3 图的存储结构

图的常用的存储结构有：邻接矩阵、邻接链表、十字链表、邻接多重表和边表，其中邻接矩阵和邻接链表是比较常用的表示方法。

5.3.1 邻接矩阵

邻接矩阵表示法(Adjacency Matrix)，用两个数组来表示图，一个一维数组存储顶点信息，一个二数组存储图中边的信息。

具体表示如下图（图源百度百科）

5.3.2 邻接表

邻接表是图的一种链式存储结构，邻接表由表头节点和表节点两部分组成，图中每个顶点均对应一个存储在数组中的表头节点。如果这个表头节点所对应的顶点存在邻接节点，则把邻接节点依次存放于表头节点所指向的单向链表中。

• 无向图邻接表

• 有向图邻接表

• 带权图邻接表

图源来自Google。

其他结构略。

5.4 图的遍历

本质上就是对每个顶点查找其邻接点的过程。时间复杂度由存储结构确定。邻接矩阵存储的遍历复杂度为O(n²)，邻接表存储的遍历复杂度为O(n)。

5.4.1 深度优先搜索

基本思想：假定所有顶点均未被访问，随机访问一个顶点，然后访问该节点的任意一个邻接顶点，重复以上过程直到无未被访问过的邻接点，若仍有顶点未被访问，则从剩余顶点当中随机选择一个访问，重复上述操作，直至所有顶点均被访问。

深度优先搜索是一个递归的过程。

5.4.2 广度优先搜索

基本思想：假定所有顶点均未被访问，最忌访问一个顶点，然后依次访问该顶点的所有邻接顶点，然后依次访问这些邻接点的邻接点。并使得“先被访问的顶点的邻接点先于后被访问的顶点的邻接点被访问，直至图中所有已被访问的顶点的邻接点都被访问到。如果此时图中尚有顶点未被访问，则需要另选一个未曾被访问过的顶点作为新的起始点，重复上述过程，直至图中所有顶点都被访问到为止。

广度优先搜索遍历图的过程是以v为起点，由近至远，依次访问和v有路径相通且路径长度为1,2…的顶点。

算法实现见后续篇章。

图篇参考文章：https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3711483.html, 在此基础上做了内容的增改。

5.5 最小生成树（连通性问题）

连通图在遍历当中只用从一个顶点开始遍历就能走完全图，而非连通图则需要通过多个顶点才能够遍历全部。非连通图每一次遍历的新起点恰好是其各个连通分量的顶点集。

5.5.1 相关概念

连通图: 在无向图中，若任意两个顶点v_i与v_j都有路径相通，则称该无向图为连通图。

强连通图: 在有向图中，若任意两个顶点v_i与v_j都有路径相通，则称该有向图为强连通图。

连通网: 在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。

生成树: 一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。

最小生成树: 在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。

5.5.2 最小生成树算法

参考文章 勿在浮沙筑高台http://blog.csdn.net/luoshixian099/article/details/51908175

Prim算法是以点为对象，挑选与点相连的最短边来构成最小生成树。而Kruskal算法是以边为对象，不断地加入新的不构成环路的最短边来构成最小生成树。

Kruskal涉及大量对边的操作，所以它适用于稀疏图；普通的prim算法适用于稠密图，但堆优化的prim算法更适用于稀疏图，因为其时间复杂度是由边的数量决定的

• Prim算法

  每一步骤选择相邻权重最小边的点加入集合，算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。复杂度O(n²)

  1）以某一个点开始，寻找当前该点可以访问的所有的边；
  2）在已经寻找的边中发现最小边，这个边必须有一个点还没有访问过，将还没有访问的点加入我们的集合，记录添加的边；
  3）寻找当前集合可以访问的所有边，重复2的过程，直到没有新的点可以加入；
  4）此时由所有边构成的树即为最小生成树

• Kruskal算法

  此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。复杂度为O(n log n)。

  1. 把图中的所有边按代价从小到大排序；

  2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林；

  3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点**u_i,v_i**应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。

  4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止

算法实现见后续篇章。

5.6 最短路径

路径问题一般是基于带权有向图，称路径上第一个顶点为源点，路径最后一个顶点为终点。

路径长度最短的最短路径的特点:

• 在这条路径上，必定只含一条弧，并且这条弧的权值最小。
• 下一条路径长度次短的最短路径的特点:
• 它只可能有两种情况: 或者是直接从源点到该点(只含一条弧)； 或者是从源点经过顶点v1，再到达该顶点(由两条弧组成)。

问题解法:

• 求从单个源点到其余各点的最短路径 — Dijkstra算法
• 每一对顶点之间的最短路径 — Floyd算法

5.6.1 Dijkstra算法

时间复杂度为O(n²)，Dijkstra算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

基本思想

1. 通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

2. 此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

3. 初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是”起点s到该顶点的路径”。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 … 重复该操作，直到遍历完所有顶点。

   参考 https://zhuanlan.zhihu.com/p/40338107

5.6.2 Floyd算法

时间复杂度为O(n³)，弗洛伊德算法是解决任意两点间的最短路径的一种算法，可以正确处理有向图或有向图或负权（但不可存在负权回路)的最短路径问题，同时也被用于计算有向图的传递闭包。

一般来说，从V_i到V_j的最短距离有两种，一是从V_i直接到V_j，二是两者之间经过若干其他顶点。我们可以这样来理解，当要求两个顶点之间的最短距离时，我们假设Dis(i,j)为V_i到V_j的最短距离，对于每一个V_k，我们检查Dis(i,k) + Dis(k,j) < Dis(i,j)是否成立，如果成立，证明从i到k再到j的路径比i直接到j的路径短，我们便设置Dis(i,j) = Dis(i,k) + Dis(k,j)，这样一来，当我们遍历完所有节点k，Dis(i,j)中记录的便是i到j的最短路径的距离。

从任意一条单边路径开始，边的长度为权值，若两顶点不邻接，权值设为无穷大；对每一对顶点V_i到V_j，看看是否存在一个V_k使得从V_i到V_k再到V_j比己知的路径更短，如果存在更新它。

5.7 拓扑排序

参考 https://www.jianshu.com/p/b59db381561a

由集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个操作称为拓扑排序。有向无环图（DAG）才有拓扑排序，非DAG图没有拓扑排序一说。

拓扑排序（Topological Sorting）是一个有向无环图（DAG, Directed Acyclic Graph）的所有顶点的线性序列。且该序列必须满足下面两个条件：

1. 每个顶点出现且只出现一次。
2. 若存在一条从顶点 A 到顶点 B 的路径，那么在序列中顶点 A 出现在顶点 B 的前面。

基本思想

1. 从 DAG 图中选择一个 没有前驱（即入度为0）的顶点并输出。

2. 从图中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。

3. 重复 1 和 2 直到当前的 DAG 图为空或当前图中不存在无前驱的顶点为止。后一种情况说明有向图中必然存在环。

上图为拓扑排序的简单示范。