数据结构——树

前言：小伙伴们好久不见，从这篇文章开始呢，我们告别了线性表，开始进入树的学习。

树相对于线性表会难许多，希望小伙伴和博主一起坚持，一起加油！

---

目录

一.树

1.什么是树

2.树的相关概念

3.树的存储结构

二.二叉树

1.什么是二叉树

2.特殊的二叉树

3.二叉树的性质

 4.二叉树的存储结构

1）顺序存储

2）链式存储

四.总结

---

一.树

1.什么是树

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树有一个特殊的结点，称为根结点，也就是树最上边的节点，根节点没有前驱结点。

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继。

因此，树是递归定义的。

---

2.树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为3；
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：J、F、K、L等节点叶节点；
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、G...等节点为分支节点；
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为3；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4；
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：G、H互为堂兄弟节点；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙；
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林。

这些便是有关树的所有概念啦，这些概念和我们人类的家庭关系类似。 

值得注意的是：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

树的兄弟节点之间不能相连，也不能跨层相连，每个节点都只能和他的父节点和子节点相连。

---

3.树的存储结构

那么我们该如何用数据结构来构建树呢？？？

实际上有很多种方法：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

但是因为树的结构非常复杂，既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。

所以我们给出最容易理解，也是最常用的孩子兄弟表示法：

typedef int DataType;
struct Node
{
 struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
 struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
 DataType _data; // 结点中的数据域
};

一个节点有两个指针，一个指向他的第一个孩子，一个指向他的下一个亲兄弟。画出图如下：

这样就可以方便遍历每个节点啦。

---

二.二叉树

1.什么是二叉树

树的每个节点最多有两个子节点，这样的树称为二叉树。

二叉树是一个有序树，它有左右之分。

---

2.特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k - 1，则它就是满二叉树。

2. 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

通俗一点来说，满二叉树就是除了最后一层的节点没有子节点，其他的节点都有左右两个子节点的二叉树，看起来满满当当的；而完全二叉树则是在满二叉树的基础上，最后一层可以不满，但节点必须从左到右紧挨着，也就是连续。

---

3.二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2 ^（i-1）个结点.
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2 ^ h - 1 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0的叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2,则有n0＝n2＋1.
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2（n+1）.（是log以2为底，n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：
（1）若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点
（2）若2i+1=n否则无左孩子

（3）若2i+2=n否则无右孩子

---

 4.二叉树的存储结构

二叉树同样拥有两种存储结构：顺序存储和链式存储。

1）顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们会在下一篇文章进行讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。

---

2）链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中一般都是二叉链，后面讲到高阶数据结构如红黑树等会用到三叉链。

---

四.总结

以上就是数据结构树的相关概念和知识啦，树的结构比我们前边学习的四种数据结构复杂得多，小伙伴们一定要开动脑筋。

那么喜欢博主文章的小伙伴不要忘记一键三连哦！！！

我们下期再见啦！！！