实对称矩阵的标准形

对称矩阵的性质

引理：设A是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数

证明：

注：对实对称矩阵A,在n维欧氏空间上定义线性变换

$显然\mathscr{A}在标准正交基\varepsilon_1=\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix},\varepsilon_2=\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots\\0\end{pmatrix},\varepsilon_n=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\1\end{pmatrix}$

下的矩阵即A

引理：设A是实对称矩阵,,有,或

证明：

注：引理将实对称矩阵的特性反映到线性变换上

对称变换

定义：欧氏空间中满足等式的线性变换称为对称变换

注：对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵

引理：设是线性变换,是-子空间,则也是-子空间

证明：

引理：设A是实对称矩阵,则中属于A的不同特征值的特征向量正交

证明：

主要定理

定理：对任一n级实对称矩阵A,都存在一个n级正交矩阵T,使成对角形

证明：

求法

给定实对称矩阵A,求正交矩阵T使成对角形

设为的一组标准正交基

它们都是A的特征向量

显然,由到的过渡矩阵为

T为一个正交矩阵,即对角形

求法：

1.求出A的全部不同的特征值

2.对每个,解齐次线性方程组

3.两两不同,故向量组还是两两正交

它们的个数就等于空间维数

故它们构成的一组标准正交基,且也都是A的特征向量

故正交矩阵T求出

例：已知,求一正交矩阵,使成对角形

解：

$\begin{cases}\beta_1=\alpha_1=(1,1,0,0)\\\beta_2=\alpha_2-{(\alpha_2,\beta_1)\over (\beta_1,\beta_1)}\beta_1=({1\over 2},-{1\over 2},1,0)\\\beta_3=\alpha_3-{(\alpha_3,\beta_1)\over (\beta_1,\beta_1)}\beta_1-{(\alpha_3,\beta_2)\over (\beta_2,\beta_2)}\beta_2=(-{1\over 3},{1\over 3},{1\over 3},1)\end{cases}$

$\begin{cases}\eta_1=({1\over \sqrt{2}},{1\over \sqrt{2}},0,0)\\ \eta_2=({1\over \sqrt{6}},-{1\over \sqrt{6}},{2\over \sqrt{6}},0)\\ \eta_3=(-{1\over \sqrt{12}},{1\over \sqrt{12}},{1\over \sqrt{12}},{3\over \sqrt{12}})\end{cases}$

$T=\begin{pmatrix}{1\over\sqrt{2}}&{1\over\sqrt{6}}&-{1\over\sqrt{12}}&{1\over\ 2}\\ {1\over\sqrt{2}}&-{1\over\sqrt{6}}&{1\over\sqrt{12}}&-{1\over\ 2}\\ 0&{2\over\sqrt{6}}&{1\over\sqrt{12}}&-{1\over\ 2}\\ 0&0&{3\over\sqrt{12}}&{1\over\ 2}\end{pmatrix}$

注：要求

若,则取

则是正交矩阵

且

显然

若线性替换

的矩阵是正交的,则称为正交的线性替换

正交的线性替换是非退化的

定理：任一实二次型都可经过正交的线性替换变成平方和,其中平方项的系数即矩阵A的特征多项式全部的根

二次曲面

二次曲面一般方程

令

则

经过转轴,坐标变换公式为

或

其中为正交矩阵,且

在新坐标系中,曲面的方程即

故有行列式为1的正交矩阵C使

即可作一转轴,使曲面在新坐标系中的方程为

其中

此时再按是否为零的情况,作适当的移轴与转轴

即可将曲面的方程化成标准方程

例：当全不为零时,可做移轴

故曲面方程化为

其中

高等代数理论基础66：实对称矩阵的标准形

实对称矩阵的标准形

对称矩阵的性质

对称变换

主要定理

求法

二次曲面

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