最长公共子序列 动态规划算法

矩阵连乘积问题 及动态规划算法介绍

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矩阵连乘积问题 动态规划算法

最长公共子序列问题描述

若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}
是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。
例如：
例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。

问题:

给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时， 称Z是序列X和Y的公共子序列。
给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。

如下两个序列
X={A，B，C，B，D，A，B}
Y={B，D，C，A，B，A}

①公共子序列可以是：
X={A，B，C，B，D，A，B}
Y={B，D，C，A，B，A}
子序列长度为3
②公共子序列可以是：
X={A，B，C，B，D，A，B}
Y={B，D，C，A，B，A}
子序列长度为3
③公共子序列可以是：
X={A，B，C，B，D，A，B}
Y={B，D，C，A，B，A}
子序列长度为4
④公共子序列可以是：
X={A，B，C，B，D，A，B}
Y={B，D，C，A，B，A}
子序列长度为4

一、分析最优解的结构

• 设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则
  ①若xm=yn，则集合Z的特点:
  zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。
  ②若xm≠yn且，则Z的特点:
  是Xm-1和Y的最长公共子序列;
  或是X和Yn-1的最长公共子序列。

所以我们可以知道:

两个序列的最长公共子序列包含这两个序列的前缀的最长公共子序列。因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。

二、建立递归关系

用c[i][j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。
Xi={x1,x2,…,xi}；Yj={y1,y2,…,yj}。
当i=0或j=0时， 故此时c[i][j]=0。
其它情况下：
x[i]==y[j],
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1
x[i]!=y[j],
c[i][j]=max(c[i-1][j], c[i][j-1])

三、计算最优值

#define NUM 100
int c[NUM][NUM];  //x[1~i] 和 y[1~j]之间的公共子序列的长度。
int b[NUM][NUM]; // 辅助完成最优解的计算  用来输出最长子序列
void LCSLength　(int m, int n, const char x[],char y[]){
　　int i,j;
　　//数组c的第0行、第0列置0
　　for (i = 0; i <= m; i++) c[i][0] = 0;
　　for (i = 1; i <= n; i++) c[0][i] = 0;
　　//根据递推公式构造数组c
　　for (i = 1; i <= m; i++)
　　for (j = 1; j <= n; j++)　　{
	if (x[i]==y[j]) 
	　　{c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; b[i][j]=1; }//↖
	else if (c[i-1][j]>=c[i][j-1]) 
		{c[i][j]=c[i-1][j];　 b[i][j]=2; }//↑
	else { c[i][j]=c[i][j-1]; b[i][j]=3; } //←
　　}
}

构造最优解

void LCS(int i,int j,char x[]){
	if (i ==0 || j==0) return;
	if (b[i][j]== 1){ 
	         LCS(i-1,j-1,x);　
	       cout<<x[i];
	}
	else if (b[i][j]== 2) 
	       LCS(i-1,j,x);
	else 
	       LCS(i,j-1,x);
}