【问题思考总结】多维随机变量函数的分布的两种情况的计算方法【离连/连连】

问题

今天做李六第一套的时候发现，有的时候，面对这种第二问的题，很自然地就想到了Fz（z），然后进行化简，但是有的时候，像这道题，就突然发现P{XY确实也是使用过的手法，也就是先求联合概率密度，再求分布函数（用二重积分进行积分），最后求导得出概率密度。然而，我感觉这两种方法有的时候不是一个脑回路（很奇怪），一个思路卡住，很难转变到另一个思路。初步猜测是由于随机变量的种类不同导致了这种区别，在此通过观察不同题的特点进行如下思考总结。

思考

对于离连型随机变量的通法：

1. 求Z的分布函数（通过事件的性质进行化简）
2. 求Z的概率密度

对于连续型随机变量的通法：

1. 求x，y联合概率密度
2. 通过二重积分求出Z的分布函数
3. 求出Z的概率密度

事实上离散连续型的特点一般是概率密度已知然后通过化简可以把（有时因为独立，可以化简，有时不独立）离散型的变量划掉，最后变成单变量的分布函数（即边缘概率分布）而这一般比较好求得（通过分段相加的方法（注意：有时中间式子求导即可得到最终概率密度）），因此直接就可求导得到Z的概率密度。

而连续连续型，往往给的条件比较少，而且最关键的是，如果X和Y，其中一个不能用另一个来表示，那么一定要化成二重积分的形式（因为化成不了边缘概率），而2021年数一的概率题比较简单就在于其虽然是连续连续型概率密度，依旧可以用离连型分布来解决（因为Y可以用X表示来化成边缘概率密度）

总结

离散连续型优先考虑直接上FZ（z），并化简。连续连续型，如果Y和X存在表示关系，则用离连型的方法，如果不存在互表关系，则采用联合概率密度加二重积分的方式。

自从16年之后，考这种多维随机变量的题特别多，而离散离散，离散连续都考过多次，连续连续目前我做到21年，仅出现了较简单的形式， 而不可互表的形式目前仅在模拟题中看到，而这种题也是完全完全在偶数年大概率可以出现的，一定要拿下。