【信号与系统】三大变换公式表 | 傅里叶变换 | 拉普拉斯变换 | Z变换

三大变换公式表

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傅里叶变换$\mathcal{F}$

$f(t)$	$F(\omega )$
$$e^{-at}$$	$$\frac{1}{a+j\omega }$$
$$e^{-a\Vert t\Vert }$$	$$\frac{2a}{a^2+{\omega }^2}$$
$\delta (t)$	$1$
${\delta }^{\prime }(t)$	$j\omega$
$常数E$	$2\pi E\delta (\omega )$
$\sin ({\omega }_{0}t)$	$j\pi [\delta (\omega +{\omega }_0)-\delta (\omega -{\omega }_0)]$
$\cos ({\omega }_{0}t)$	$\pi [\delta (\omega +{\omega }_0)+\delta (\omega -{\omega }_0)]$
$$阶跃函数u(t)$$	$\frac{1}{j\omega }+\pi \delta (\omega )$
$$-\frac{1}{j2\pi t}+\frac{1}{2}\delta (-t)$$	$u(\omega )$
$$符号函数sgn(t)$$	$$\frac{2}{j\omega }$$
$$门函数kE[u(t+\frac{\tau }{2k})-u(t-\frac{\tau }{2k})]$$	$$E\frac{\tau }{k}Sa(\frac{\omega \tau }{2k})$$
$$滤波器\frac{{\omega }_0}{\pi }Sa({\omega }_{0}t)$$	$u(\omega +{\omega }_0)-u(\omega -{\omega }_0)$
$$三角脉冲(门\ast 门)(-\frac{\tau }{2},\frac{\tau }{2})$$	$$E\frac{\tau }{2}S{a}^2(\frac{\omega \tau }{4})$$
$$f(t){\Vert }_{t-B}^{t-A}$$	$F(\omega )\cdot [e^{-j\omega A}-e^{-j\omega B}]$
$$tf(at)$$	$$\frac{j}{\Vert a\Vert }\frac{F(\frac{\omega }{a})}{d\omega }$$

$\int Sa(t)dt=Si(t)$

拉普拉斯变换$\mathcal{L}$

$f(t)$	$F(s)$
$$1$$	$$\frac{1}{s}$$
$$t$$	$$\frac{1}{s^2}$$
$$t^{n-1}$$	$$\frac{(n-1)!}{s^n}$$
$$\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$$	$$\frac{1}{\sqrt{s}}$$
$$\frac{2\sqrt{t}}{\sqrt{\pi }}$$	$$\frac{1}{s^{3/2}}$$
$$t^{a-1}$$	$$\frac{\Gamma (a)}{s^a}$$
$$e^{at}$$	$$\frac{1}{s-a}(s-shifting)$$
$$\frac{1}{a-b}(e^{at}-e^{bt})$$	$$\frac{1}{(s-a)(s-b)}(a\ne b)$$
$$\frac{1}{a-b}(a{e}^{at}-b{e}^{bt})$$	$$\frac{s}{(s-a)(s-b)}(a\ne b)$$
$$\sin \omega t$$	$$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$$
$$\cos \omega t$$	$$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$$
$$\sinh at$$	$$\frac{a}{s^2-a^2}$$
$$\cosh at$$	$$\frac{s}{s^2-a^2}$$
$$\frac{1}{{\omega }^2}(1-\cos \omega t)$$	$$\frac{1}{s(s^2+{\omega }^2)}$$
$$\frac{1}{{\omega }^3}(\omega t-\sin \omega t)$$	$$\frac{1}{s^2(s^2+{\omega }^2)}$$
$$\frac{1}{2{\omega }^3}(\sin \omega t-\omega t\cos \omega t)$$	$$\frac{1}{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$$
$$\frac{t}{2\omega }\sin \omega t$$	$$\frac{s}{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$$
$$\frac{1}{2\omega }(\sin \omega t+\omega t\cos \omega t)$$	$$\frac{s^2}{(s^2+{\omega }^2{)}^2}$$
$$\frac{1}{b^2-a^2}(\cos at-\cos bt)$$	$$\frac{s}{(s^2+a^2)(s^2+b^2)}(a\ne b)$$
$$\frac{1}{4k^3}(\sin kt\cos kt-\cos kt\sinh kt)$$	$$\frac{1}{s^4+4k^4}$$
$$\frac{1}{2k^2}\sin kt\sinh kt$$	$$\frac{s}{s^4+4k^4}$$
$$\frac{1}{2k^3}(\sinh kt-\sin kt)$$	$$\frac{1}{s^4-k^4}$$
$$\frac{1}{2k^2}(\cosh kt-\cos kt)$$	$$\frac{s}{s^4-k^4}$$
$$e^{bt}u(t-a)$$	$$\frac{e^{-a(s-b)}}{s-b}$$
$$f(at-b)u(at-b)$$	$$\frac{1}{a}F(\frac{s}{a})e^{-s\frac{b}{a}}$$
$$-\ln t-0.5772$$	$$\frac{1}{s}\ln s$$
$$\frac{1}{t}(e^{bt}-e^{at})$$	$$\ln \frac{s-a}{s-b}$$
$$\frac{2}{t}(1-\cos \omega t)$$	$$\ln \frac{s^2+{\omega }^2}{s^2}$$
$$\frac{2}{t}(1-\cosh at)$$	$$\ln \frac{s^2-a^2}{s^2}$$
$$\frac{1}{t}\sin \omega t$$	$$\arctan \frac{\omega }{s}$$
$$Si(t)={\int }_0^t\frac{\sin x}{x}dx$$	$$\frac{1}{s}\arccos s$$

z变换$\mathcal{Z}$

单边z变换 右边序列 n>=0

$f(n)$	$F(z)$	收敛域|z|
$$\delta (n)$$	$$1$$	>= 0
$$\delta (n-m)$$	$$z^{-m}$$	>0
$$u(n)$$	$$\frac{z}{z-1}$$	>=1
$$a^n$$	$$\frac{z}{z-a}$$	>=|a|
$$n{a}^n$$	$$\frac{az}{(z-a{)}^2}$$	>a
$$n^2{a}^n$$	$$\frac{az(z+a)}{(z-a{)}^3}$$	>a
$$n^3{a}^n$$	$$\frac{az(z^2+4az+a^2)}{(z-a{)}^4}$$	>a
$$(n+1)a^n$$	$$\frac{z^2}{(z-a{)}^2}$$	>|a|
$$\frac{(n+1)\cdots (n+m)a^n}{m!}(m\ge 1)$$	$$\frac{z^{m+1}}{(z-a{)}^{m+1}}$$	>|a|
$${\beta }^n\sin n{\omega }_0$$	$$\frac{\beta z\sin {\omega }_0}{z^2-2\beta z\cos {\omega }_0+{\beta }^2}$$	>$\beta$
$${\beta }^n\cos n{\omega }_0$$	$$\frac{z(z-\beta \cos {\omega }_0)}{z^2-2\beta z\cos {\omega }_0+{\beta }^2}$$	>$\beta$
$$\sinh n{\omega }_0$$	$$\frac{z\sinh {\omega }_0}{z^2-2\cosh {\omega }_0+1}$$	>=
$$\cosh n{\omega }_0$$	$$\frac{z(z-\cosh {\omega }_0)}{z^2-2z\cosh {\omega }_0+1}$$	>=
$$\frac{a^n}{n!}$$	$$e^{\frac{a}{z}}$$	>=
$$\frac{1}{(2n)!}$$	$$\cosh (z^{-\frac{1}{2}})$$	>=
$$\frac{(\ln a{)}^n}{n!}$$	$$a^{\frac{1}{z}}$$	>=
$$\frac{1}{n}$$	$$\ln \frac{z}{z-1}$$	>=
$$C_n^m$$	$$\frac{z}{(z-1{)}^{m+1}}$$	>=
$$a^n{R}_N(n)$$	$$\frac{1-a^N{z}^{-N}}{1-a{z}^{-1}}$$