1. Merge Sort - 归并排序
核心：归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。
将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取后相应指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。
归并排序的分析
- Python代码实现
"""
归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。
最好时间复杂度：O(nlogn)
最坏时间复杂度：O(nlogn)
稳定性：稳定
"""
class Sort(object):
def mergeSort(self, alist):
n = len(alist)
if n <= 1:
return alist
mid = n // 2
# 二分分解
leftList = self.mergeSort(alist[:mid])
rightList = self.mergeSort(alist[mid:])
# 合并
return self._merge(leftList, rightList)
def _merge(self, leftList, rightList):
"""
合并操作，将两个有序列表leftList和rightList合并成一个大的有序列表
"""
l = r = 0
tempList = []
while l < len(leftList) and r < len(rightList):
if leftList[l] <= rightList[r]:
tempList.append(leftList[l])
l += 1
else:
tempList.append(rightList[r])
r += 1
tempList += leftList[l:]
tempList += rightList[r:]
return tempList
if __name__ == "__main__":
alist = [6, 5, 3, 1, 4, 7, 2, 4]
print(alist)
mergeSort = Sort()
sortAlist = mergeSort.mergeSort(alist)
print(sortAlist)
# 结果
[6, 5, 3, 1, 4, 7, 2, 4]
[1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7]
归并排序复杂度分析，可以写成递推公式：
。为分解成两部分排序的时间复杂度，为合并这两部分已排序数组的时间复杂度。由主定理可求解时间复杂度。
2. 主定理方法
定理
简化记忆：
- 举例一：
求复杂度。
结果为。
- 举例二：
求复杂度。
结果为。
- 举例三：
求复杂度。
结果为。
- 举例四：
求复杂度。
结果为。
3. 斐波那契数|递归树分析法
序列一次为 1，1，2，3，5，8，13，21，......
问题：怎么求出序列中第N个数？
# 递归形式
def fib(n):
if n <= 1:
return n
return fib(n-1)+fib(n-2)
print(fib(5))
# 结果
5
时间复杂度怎么计算？
此时不能套用主定理。使用递归树分析：时间复杂度为。
递归树分析法
空间复杂度如何分析？
递归时有较多的压栈操作。空间复杂度为。
出入栈
斐波那契循环实现：
# 非递归形式
#!/usr/bin/python
def fib(n):
a = 0
b = 1
for i in range(n):
a, b = b, a + b
return a
print(fib(5))
# 结果
5
此时的时间复杂度为。
思考：怎么在的时间复杂度下计算fib(n)?
答案：通项公式，。
参考文献
- Introdution to Algorithem