数学之美（37）——从乌鸦喝水到开普勒

再说乌鸦喝水

一只乌鸦口渴了，他在低空盘旋着找水喝。找了很久，他才发现不远处有一个水瓶，便高兴地飞了过去，稳稳地停在水瓶口，准备痛快地喝水了。可是，水瓶里水太少了，瓶口又小，瓶颈又长，乌鸦的嘴无论如何也够不着水。这可怎么办呢?

乌鸦想，把水瓶撞倒，就可以喝到水了。于是，他从高空往下冲，猛烈撞击水瓶。可是水瓶太重了，乌鸦用尽全身的力气，水瓶仍然纹丝不动。

乌鸦一气之下，从不远处叼来一块石子，朝着水瓶砸下去。他本想把水瓶砸坏之后饮水，没想到石子不偏不倚，"扑通"一声正好落进了水瓶里。

乌鸦飞下去，看到水瓶一点儿都没破。细心的乌鸦发现，石子沉入瓶底，里面的水好像比原来高了一些。

"有办法了，这下我能喝到水了。"乌鸦非常高兴，他"哇哇"大叫着开始行动起来。他叼来许多石子，把它们一块一块地投到水瓶里。随着石子的增多，水瓶里的水也一点儿一点儿地慢慢向上升……

Part.1

问题一、乌鸦能喝到水吗？

这取决于容器的形状和水的初始高度。如果初始水只有薄薄的一层，就算将瓶子塞满石子，也无济于事。

在水面高度相对较高时，锤形的瓶子肯定比圆柱、长方体形状的瓶子要好些。

Part.2

问题延伸：

如果需要往一个箱子（长方体）中尽可能地塞入球，塞满后盖上盖子。赛球的体积能占整个箱子体积的百分比是多少呢? 换个说法，如果要想尽可能多地塞球，应该怎么塞球？球的排列方式应该怎么样？

Part.3

开普勒猜想

德国数学家（天文学家）开普勒在1611年提出没有其它塞法可以排列出更高密度的想法。

注：如果随便往箱子中丢球，顶多只能达到体积的65%；如果谨慎一点，先在箱底以六角形铺满一层，第二层铺在第一层的凹槽处，第三层再铺在第二层的凹槽处，以此类推，我们可以达到占体积的：

大约为74%.

开普勒在《六角雪花》这本专著中详细写下了这个猜想，指出在立体空间排列体积相同的球体时，没有任何其他方式可以比面心立方法和六方最密堆积法堆出更多的球。

Part.4

数学王子高斯虽然在19世纪时，证明若依照固定规律的立体结构排列时，传统六方最密堆积法是效率最高的排列方式，比如超市大妈对水果的排列方式等。不过若依不规则形式排列的话，没有人能够证明怎么排列效率最高。

直至1998年，美国数学家黑尔斯终于将开普勒猜想的证明方式，摊在众人的面前。他用包含150个变量的方程式清楚解释说明了50棵球的排列方式，计算机的计算结果也证明了再无其他排列方式，可以让球占箱子的体积超过74%。

尽管如此，《数学年刊》的评审委员会仍然严谨地评论这篇论文：

99%成立。

而黑尔斯本人则估算大概还要再花20年的时间，才能正式且完整地证明开普勒猜想成立。不管怎么说，这件事已经告一段落了……

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