连续随机变量与贝叶斯推断

第三章一般随机变量

对于随机变量，若存在一个非负函数，使得:

对每一个实数轴上的集合都成立，则称为连续随机变量，函数就称为的 概率密度函数。

特别，当是一个区间的时候

3.1.1 期望

3.2 分布函数

$F_{X}(x)=P(X \leqslant x)=\left\{\begin{array}{ll} \sum_{k \leqslant x} p_{X}(k), & \text { 若 } X \text { 离散的, } \\ \int_{-\infty}^{x} f_{X}(t) \mathrm{d} t, & \text { 若 } X \text { 连续的. } \end{array}\right.$
CDF:分布函数

3.3 连续随机变量的贝叶斯准则

令为连续的随机变量

若为连续随机变量，我们有

例题(信号检测)

设是一个只取两个值的信号。记和。在接收端，得到的信号为，其中是一个正态分布，期望为0，方差为1，并且与相互独立。当观察到的信号为的时候，的概率是多少?

对于给定的，，是一个正态分布随机变量，期望为，方差为1。

$\mathrm{P}(S=1 \mid Y=y)=\frac{p_{s}(1) f_{Y \mid S}(y \mid 1)}{f_{Y}(y)}=\frac{\frac{p}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-(y-1)^{2} / 2}}{\frac{p}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-(y-1)^{2} / 2}+\frac{1-p}{\sqrt{2 \pi}} \mathrm{e}^{-(y+1)^{2} / 2}}$

化简得:

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