数学能力的组成部分：数学相关的信念

（摘自《儿童心理学手册》第六版，第四卷【应用儿童心理学】，第四章【数学思维与学习】）

数学相关的信念

根据20年的研究，研究者普遍认为，学生持有的数学和数学教育的信念对他们的数学学习方式和行为有重要的影响。NCTM的《学校数学课程和评估标准》在1989年重复了这一观点：“这些信念对学生的能力自评，参与数学任务的意愿和他们最终的数学倾向都产生了很大的影响。”

为了获得数学倾向，学生对数学领域及数学教育形成积极的信念是十分重要的。这包含了“有成效的倾向”成分，它是2001年NRC（2001a）的报告中数学熟练程度的五个部分之一：“有成效的倾向是指，领会数学感觉的倾向性，认为它既有用又值得花时间学习，相信在学习数学上持续地努力会取得好结果，把自己看作是有力的数学学习者和数学实践者。”

虽然如此，已有的研究表明，当今的数学课堂的情况还远远未达到这一理想目标。一个研究要求不同年龄的学生画一副数学家正在工作的图解。Picker和Berry（2000）的研究中，几个国家（美国、英国、芬兰、瑞典和罗马尼亚）的476名12至13岁儿童被要求画这样一幅画并进行书面评论。所有国家研究的主要结论是，学生所画图的要点是一点也不缺乏力量的，学生把数学家描绘成独裁的或有威胁的。根据作者的说法，在研究中出现的数学家占统治地位的图画与Rock和Shaw（2000）在一个类似的调查中，调查范围从幼儿园到八年级，所获得的图画一致。这一研究非常合理，学生的画能反映出他们的观念，所以很明显学生们认为这一领域不吸引人也没有趣。

根据文献分析，De Corte、Op’t Eynde和Verschsffel把学生的观念分成三种：

关于数学学习和问题解决的自我信念（如关于数学的自我效能概念）；

有关社会情境的信念（如数学教室中的社会标准）；

关于数学、数学学习和问题解决的信念。

至于最后一种类型，研究表明可能作为目前教育的结果，较大年龄范围和不同能力的学生持有的数学信念是天真的、不正确的，或者是两者兼有，这对学生的数学活动和解决数学任务和问题有很大的消极和抑制的影响。从某种角度来看，解决词语问题时的意义中止也是这些现象的一个解释。换句话说，可获取的数据与Picker和Berry（2000）以及Rock和Show的研究中出现的情况一致。根据Greeno的研究，大多数学生从他们的课堂经验中得知，数学知识不是由学习者，或者个体或者在小组中建构的，而是以固定的形式接受知识。Lampert表述了相似的常见的数学观点的特征如下：数学就是确定而快速的给出正确答案；做数学题应符合老师描述的原则；精通数学意味着当老师提问时，能够回忆和使用正确的规则；权威的老师认可的数学问题答案就是正确的。她还提出那些观念应该通过在数学课堂上多年的看、听和练习来获得。Boaler和Greeno的一个案例研究，也表明中学生的问题观念或多或少地来自实际的课程和课堂练习及文化。

Schoenfeld（1998）在一篇文章中以研究结果证明了学生被这样的观念折磨，文章的题目很奇怪：《当好的讲授导致坏的结果：“好的讲授”数学课程的灾难》。Schoenfeld对一个20名学生的十年级班级的几何课做了一年的深入的研究，同时定期收集其他11个班的数据（总共210名学生），包括观察，与教师和学生面谈，以及关于学生对数学属性的理解进行问卷调查。学生在典型成就测量中得分很高，并且以一种通常被认为是好的教学方式教授学生数学。尽管如此，作为学习者的学生对数学及他们自己是令人虚弱无力的信念，诸如“所有的数学问题都能在短短的几分钟内解决”以及“学生是别人的数学的被动用户”。很明显，这样的错误信念无异于学生以认真及坚持不懈的方式解决新的和挑战性的任务。当学生做词语问题解决时，他们在很大程度上需要为缺乏意义寻求负责，在学生中还发现了其他奇怪的信念是，“数学问题有且只有一个正确答案”以及“数学学习与实际生活几乎或根本没有关系”。

关于自我信念的研究表明，自我效能信念可预测大学生的数学问题解决成绩。然而，这似乎是对这些观念的本质和复杂性上逐步发展结果的反映。例如，Kloosterman和Cougan（1994）的研究，以一至六年级的62名学生为样本，发现学生的自信信念和对数学的喜欢在小学一二年级与他们的成就水平是相互独立的，但是到了小学结束的时候，这些信念与成绩相关，除了低自信的学生外，低成就者也开始不喜欢数学。Wigfield等人（1997）也发现在小学低年级，儿童把数学看得很重要，并且认为他们自己有能力掌握它。但是到了小学高年级，他们的能力信念降低了，Middleton和Spanias（1999）指出，到了初中，学生关于数学的信念变得更有影响力；不幸的是，很多学生开始形成与数学相关的更消极的自我信念。

如同我们已经强调的，一些研究已经讨论了不同年龄学生持有的与数学相关的消极信念是由目前的教育活动导致的。虽然观察和一些案例研究也指出了这一点，但是要确认这一假设还需要更深入的研究。因此，继续研究的主要挑战是系统化地研究学生的信念与教育干预之间的相互影响，其重点在于设计出一种干预措施，使有成效的倾向的获得更容易。这种研究应同时以更加细致的方式追踪学生数学相关信念的发展。事实上，因为事例是针对一般认识论的信念（比如关于认识和知识的信念），所以需要更好地了解基于研究的数学相关信念的本质和发展过程的知识，以及那些导致学生信念变化的情境因素。