【三维重建】摄像机几何

针孔相机模型

【三维重建】摄像机几何_第1张图片

为了方便我们对针孔相机模型进行数学建模,我们往往对虚拟像平面进行研究,因为虚拟像平面的方向与我们实际物体的方向一致。

【三维重建】摄像机几何_第2张图片

通过相似三角形法可以得到三维坐标到二维坐标映射

P=\begin{bmatrix} x\\y\\z \end{bmatrix} \rightarrow {P}'=\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} \left\{\begin{matrix} x' = f\frac{​{x}}{z} \\ y'=f\frac{​{x}}{z} \\ \end{matrix}\right.

 将像平面原点坐标移动到左下角:

\left ( x,y,z \right ) \rightarrow \left ( f\frac{x}{z} +c_x{},f\frac{y}{z} +c_y{}\right )

加上现实世界单位(m)到数码图片单位(pixel)的转换量:

\left ( x,y,z \right ) \rightarrow \left ( fk\frac{x}{z} +c_x{},fl\frac{y}{z} +c_y{}\right )

【三维重建】摄像机几何_第3张图片

至此,完成了相机坐标到像平面坐标的映射:

P=(x,y,z)\rightarrow P'=(\alpha \frac{x}{z}+c_{x},\beta \frac{y}{z}+c_{y})

齐次坐标

P=(x,y,z)\rightarrow P'=(\alpha \frac{x}{z}+c_{x},\beta \frac{y}{z}+c_{y})

在上面这个公式中,z是会改变的,因此 P到P'并不是线性变换,我们需要引用齐次坐标,使它成为线性变换。

欧式坐标变为齐次坐标就是在最后增加一个维度,并让它的值为1。

\left ( x,y \right )\rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y\\ 1 \end{bmatrix}             \left ( x,y,z \right )\rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y\\z\\ 1 \end{bmatrix}            

齐次坐标转为欧式坐标:

\begin{bmatrix} x\\y\\w \end{bmatrix}\rightarrow (x/w,y/w)                \begin{bmatrix} x\\y\\z\\w \end{bmatrix}\rightarrow (x/w,y/w,z/w)

齐次坐标转到欧式坐标的结果并不是一一对应的,比如(1,1,1)和(2,2,2)转到欧式坐标都是(1,1),它们之间相差一个系数。

【三维重建】摄像机几何_第4张图片

M矩阵中的元素是固定不变的,变为齐次坐标后P到P'就是线性变换了。

投影矩阵

由于制造工艺的原因,像平面可能不是一个矩形,所以需要映入\theta进行建模。

【三维重建】摄像机几何_第5张图片

【三维重建】摄像机几何_第6张图片

我M称为投影矩阵, K称为摄像机的内参矩阵。

我们目前所完成的是相机坐标系到像素坐标系的映射,还需要一个外参矩阵,建立世界坐标系到相机坐标系的映射。

【三维重建】摄像机几何_第7张图片

参考鲁鹏老师三维重建课:

计算机视觉之三维重建(深入浅出SfM与SLAM核心算法)——1.摄像机几何_哔哩哔哩_bilibili

你可能感兴趣的:(数码相机,算法)