高中奥数 2021-12-21

2021-12-21-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P068 例1）

求经过且与某条直线垂直的直线方程,这里、对应的复数分别为、,为原点.

分析与解

对于平面上异于的点,设其对应复数为,则以此点与原点为端点的中垂线方程为,这只要用即可证明.

一般地,(般地为实数,包括为零),便是与及连线垂直的所有直线.因此,经过且与垂直的直线方程为.

证明:

得

两式相加得

注

若将换成,则得,因此,经过复数为的且垂直的直线方程是

复数的这个基本性质十分重要,具有广泛的用途.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P068 例2）

已知三顶点对应复数为、、,求其面积,并以此求出过两复数与的直线方程.

分析与解

的面积

$\begin{aligned} &S_{\triangle z_{1}z_{2}z_{3}}\\ =&\dfrac{1}{2}\cdot Z_{1}Z_{2}\cdot Z_{1}Z_{3}\cdot \sin \angle Z_{2}Z_{1}Z_{3}\\ =&\dfrac{1}{2}\cdot \left|z_{1}-z_{2}\right|\cdot \left|z_{1}-z_{3}\right|\cdot\Im \dfrac{z_{3}-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}\left|\dfrac{z_{2}-z_{1}}{z_{3}-z_{1}}\right|\\ =&\dfrac{1}{2}\cdot\Im\left(\overline{z_{1}}z_{2}+\overline{z_{2}}z_{3}+\overline{z_{3}}z_{1}\right)\qquad\qquad(1)\\ =&\dfrac{\mathrm{i}}{4}\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \\ \overline{z_{1}} &\overline{z_{2}} & \overline{z_{3}} \end{array}\right| .\qquad\qquad(2) \end{aligned}$

(1)式和(2)式中给出的面积表达式可能是负的,这是因为它们表示的是有向面积,满足.如果是通常意义下的面积,就取模,为 $\frac{1}{2}\left|\Im\left(\overline{z_{1}} z_{2}+\overline{z_{2}} z_{3}+\overline{z_{3}} z_{1}\right)\right|=\frac{1}{4}\left|\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ z_{1} & z_{2} & z_{3} \\ \overline{z_{1}} & \overline{z_{2}} & \overline{z_{3}} \end{array}\right|\right|$ .而复平面上三点、、共线的充要条件是

即,于是直线的方程为:

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（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷复数与向量张思汇复数与向量的应用 P069 例3）

试根据复数的几何意义推导出用复数表示点到直线距离的公式.

分析与解

设、为直线l上的两点,为直线外一点,则方向上的单位向量,而方向上的单位向量.根据复数除法的几何意义,由旋转到所转过的角由下式确定:

$\begin{aligned} \sin\varphi&=\Im\left(\dfrac{\left|z_{2}-z_{1}\right|}{\left|z_{3}-z_{1}\right|}\cdot \dfrac{\left(z_{3}-z_{1}\right)\left(\overline{z_{3}}-\overline{z_{1}}\right)}{\left(z_{2}-z_{1}\right)\left(\overline{z_{2}}-\overline{z_{1}}\right)}\right)\\ =&\dfrac{1}{\left|z_{2}-z_{1}\right|\cdot\left|z_{3}-z_{1}\right|}\Im\left(-z_{1}\overline{z_{2}}+\overline{z_{2}}z_{3}-z_{3}\overline{z_{1}}+z_{1}\overline{z_{1}}\right). \end{aligned}$

因为,,,由上式知到直线的距离为.约定距离非负,所以上式取绝对值.

注

由此可知复数、、顶点的三角形面积为,当、、逆时针排列时,绝对值去掉;当顺时针排列时,去掉绝对值后添负号.

高中奥数 2021-12-21

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