Python每日一练-----三步问题（爬楼梯进阶版）

⛅（day13）

目录

题目：

题目分析：

解题思路：

图解分析

动态规划解法

代码注释

优化

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题目：

三步问题。有个小孩正在上楼梯，楼梯有n阶台阶，小孩一次可以上1阶、2阶或3阶。实现一种方法，计算小孩有多少种上楼梯的方式。结果可能很大，你需要对结果取模1000000007（%1000000007）。（n范围在[1, 1000000]之间）

示例 1:

输入：1

输出：1

说明：只有1种方法上楼梯

示例 2:

输入：2

输出：2

说明：有2种方法上楼梯

第一种：两次迈1步

第二种：迈2步

示例 3:

输入：3

输出：4

说明：有2种方法上楼梯

第一种：3次都迈1步

第二种：先迈1步再迈2步

第三种：先迈2步再迈1步

第四种：1次迈3步

示例 5:

输入：3

输出：13

说明：有13种方法上楼梯......

题目分析：

上楼梯一次可以迈1步或者是2步或者是3步，那么上n阶楼梯有多少种方法？题目给定了跨步的可选距离，类似于数学中将1，2，3这三个数字排列组合（1，2，3出现的次数<=n)构成<=n个数，这n个数的和为n。如n=3=1+2=1+1+1

解题思路：

这也是动态规划典型题爬楼梯Python每日一练--------递归，动态规划（爬楼梯）_亖夕的博客-CSDN博客_python 递归

的进阶版，不过方法还是差不多的

上动态规划五部曲

✨1.分析确定dp数组以及其下标的含义

现在确定dp[i]表示从第1阶楼梯爬到第n阶楼梯的所有方法

i  表示第  i  阶楼梯

✨2.确定递推公式 

顺推

（1）只有第1阶楼梯，n=1

只能用例一上1阶的方法上楼梯

dp[1] = 1

（2）有2阶楼梯，n=2

能使用例一上1阶的方法上第一阶台阶，再例一上1阶的方法上第二阶台阶

或者

使用例二上2阶的方法走直接走上2阶楼梯

dp[2] = dp[1] + dp[1] = dp[2]

（3）有3阶楼梯，n=3

能使用例一上1阶的方法上第一阶台阶，再例一上1阶的方法上第二阶台阶，再例一上1阶的方法上第三阶台阶

或者

使用例二上2阶的方法走走上2阶楼梯，再用例一上1阶的方法上最后一阶台阶

或者

用例一上1阶的方法上第一阶台阶，再用例二上2阶的方法走走上最后2阶楼梯

或者

用例三的方法直接上三阶楼梯

dp[3] = dp[1] + dp[1] + dp[1] = dp[2] + dp[1]=dp[3]

（3）有n阶台阶， n=n

dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]

逆推

当你站再最后一阶楼梯时返回一步，你只可能从第i-1，或i-2阶，或i-3阶楼梯走上来

所以dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]

图解分析

 

 

 

✨3.如何初始化dp数组

从公式dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] + dp[i-3]可知，dp[i]的基础是dp[0],dp[1]，和dp[2]

为什么不是dp[1],dp[2],dp[3]?

因为下标i从0开始，所以dp[0],dp[1]，dp[2]等同于上面分析的dp[1],dp[2],dp[3]

则dp[0] = 1    dp[1] = 2    dp[2] = 4

✨4.确定遍历的顺序

由dp[i]的定义，以及公式dp[i]由dp[i-3],dp[i-2],和dp[i-1]推导出来，所以遍历顺序为左到右。

✨5.举例验证推导的dp数组（公式）是否正确

可以举简单例子如例三

代码实现

动态规划解法

def waysToStep(n):
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    elif n == 3:
        return 4
    dp = [0] * n
    dp[0] = 1
    dp[1] = 2
    dp[2] = 4
    for i in range(3, n):
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
        dp[i] %= 1000000007
    return dp[-1]

代码注释

def waysToStep(n):
    # 可直接返回递归公式的基础
    if n == 1:
        return 1
    elif n == 2:
        return 2
    elif n == 3:
        return 4
    # 初始化dp数组
    dp = [0] * n
    dp[0] = 1
    dp[1] = 2
    dp[2] = 4
    for i in range(3, n):   # 当由公式dp[i-3]为了防止超出列表i从3开始
        dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] + dp[i - 3]
        dp[i] %= 1000000007   # 题目要求的取模操作
    return dp[-1]

优化

简单递归后发现目标值仅有dp数组最新三个值确定
所以不必使用数组存储，直接使用滚动数组记录即可

def waysToStep(n):
    if n <= 2:
        return n
    a, b, c = 1, 2, 4
    for i in range(3, n):
        a, b, c = b, c, (c + b + a)
        c %= 1000000007
    return c

今天就到这，明天见。

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