数据结构-树

参考：https://www.hello-algo.com/chapter_tree/binary_tree/#711

1. 介绍

树存储不同于数组和链表的地方在于既可以保证数据检索的速度，又可以保证数据插入删除修改的速度，二者兼顾。

二叉树是一种很重要的数据结构，是非线性的结构，
非常多其他数据结构都是基于二叉树的基础演变而来的。
如：一般二叉树、完全二叉树、满二叉树、线索二叉树、哈夫曼树、
二叉排序树、平衡二叉树、红黑树、B树。

普通的二叉树，很难构成现实的应用场景，但因其简单，常用于学习研究，
平衡二叉树则是实际应用比较多的。
常见于快速匹配、搜索等方面。
常用的树有：AVL树、红黑树、B+树、Trie（字典）树。
1、AVL树: 最早的平衡二叉树之一。应用相对其他数据结构比较少。windows对进程地址空间的管理用到了AVL树。
2、红黑树: 平衡二叉树，广泛用在C++的STL中。如map和set都是用红黑树实现的。还有Linux文件管理。
3、B/B+树: 用在磁盘文件组织 数据索引和数据库索引。
4、Trie树(字典树): 用在统计和排序大量字符串，如自动机、M数据库索引。

2 概念

2.1 二叉树的每个节点最多只能有两个子节点（左、右节点）

1. 「根节点 root node」：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
2. 「叶节点 leaf node」：没有子节点的节点，其两个指针均指向None 
3. 「边 edge」：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
4. 节点所在的「层 level」：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
5. 节点的「度 degree」：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
6. 二叉树的「高度 height」：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
7. 节点的「深度 depth」：从根节点到该节点所经过的边的数量。
8. 节点的「高度 height」：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。

2.2 完全二叉树

若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第h层有叶子结点，并且叶子结点都是从左到右依次排布，这就是完全二叉树。

特征：

叶子结点只可能在最下面的两层上出现，对任意结点，若其右分支下的子孙最大层次为L，则其左分支下的子孙的最大层次必为L或L+1

图示：

特点：

（1）若i为奇数且i>1，那么tree[i]的左兄弟为tree[i-1]；

（2）若i为偶数且i<n，那么tree[i]的右兄弟为tree[i+1]；

（3）若i>1，tree[i]的双亲为tree[i div 2]；

（4）若2*i<=n，那么tree[i]的左孩子为tree[2*i]；若2*i+1<=n，那么tree[i]的右孩子为tree[2*i+1]；

（5）若i>n/2，那么tree[i]为叶子结点（对应于（3））；

（6）若i<(n-1)/2，那么tree必有两个孩子（对应于（4））；

（7）满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树；

（8）完全二叉树第i层至多有2^(i-1)个节点，共i层的完全二叉树最多有2^i-1个节点。

2.3 满二叉树