【算法笔记】图的表示

1 如何理解“图”

树中的元素我们称为节点，图中的元素我们就叫作顶点（vertex）。图中的一个顶点可以与任意其他顶点建立连接关系。我们把这种建立的关系叫作边（edge）。

拿微信举个例子。可以把每个用户看作一个顶点。如果两个用户之间互加好友，那就在两者之间建立一条边。所以，整个微信的好友关系就可以用一张图来表示。其中，每个用户有多少个好友，对应到图中，就叫作顶点的度（degree），就是跟顶点相连接的边的条数。
微博的社交关系跟微信还有点不一样，或者说更加复杂一点。微博允许单向关注，也就是说，用户 A 关注了用户 B，但用户 B 可以不关注用户 A；如果用户 A 关注了用户 B，我们就在图中画一条从 A 到 B 的带箭头的边，来表示边的方向。如果用户 A 和用户 B 互相关注了，那我们就画一条从 A 指向 B 的边，再画一条从 B 指向 A 的边。我们把这种边有方向的图叫作“有向图”。

在无向图中有“度”这个概念，表示一个顶点有多少条边。
在有向图中，我们把度分为入度（In-degree）和出度（Out-degree）。

顶点的入度，表示有多少条边指向这个顶点；顶点的出度，表示有多少条边是以这个顶点为起点指向其他顶点。对应到微博的例子，入度就表示有多少粉丝，出度就表示关注了多少人。

QQ 不仅记录了用户之间的好友关系，还记录了两个用户之间的亲密度，如果两个用户经常往来，那亲密度就比较高；如果不经常往来，亲密度就比较低！

这里就要用到另一种图，带权图（weighted graph）。在带权图中，每条边都有一个权重（weight），我们可以通过这个权重来表示 QQ 好友间的亲密度。

2 邻接矩阵存储方法

邻接矩阵的底层依赖一个二维数组；对于无向图来说，如果顶点 i 与顶点 j 之间有边，我们就将 A[i][j] 和 A[j][i] 标记为 1；对于有向图来说，如果顶点 i 到顶点 j 之间，有一条箭头从顶点 i 指向顶点 j 的边，那我们就将 A[i][j] 标记为 1。同理，如果有一条箭头从顶点 j 指向顶点 i 的边，我们就将 A[j][i] 标记为 1。对于带权图，数组中就存储相应的权重。

用邻接矩阵来表示一个图，虽然简单、直观，但是比较浪费存储空间；

无向图的存储是个对称矩阵，只需要存储一半就可以了，另外一半白白浪费掉了；
如果存储是稀疏图，顶点很多，但是每个顶点的边并不是很多；邻接居住的存储方法就会浪费很多空间；

比如微信有好几亿的用户，对应到图上就是好几亿的顶点。但是每个用户的好友并不会很多，一般也就三五百个而已。如果我们用邻接矩阵来存储，那绝大部分的存储空间都被浪费了。但这也并不是说，邻接矩阵的存储方法就完全没有优点。

邻接矩阵存储方法的优点如下:

• 存储方式简单，直接，基于数组的方式使得获取两个顶点之间的关系，非常高效；
• 方便计算，用邻接矩阵的方式存储图，可以让很多图的运算转换成矩阵之间的运算；

3 邻接表存储方法

每个顶点对应一条链表，链表中存储的是与这个顶点相连接的其他顶点；
图中画的是一个有向图的邻接表存储方式，每个顶点对应的链表里面，存储的是指向的顶点。对于无向图来说，也是类似的，不过，每个顶点的链表中存储的，是跟这个顶点有边相连的顶点；
邻接表存储起来比较节省空间，但是使用起来就比较耗时间。

在基于链表法解决冲突的散列表中，如果链过长，为了提高查找效率，我们可以将链表换成其他更加高效的数据结构，比如平衡二叉查找树等。邻接表长得很像散列。所以，我们也可以将邻接表同散列表一样进行“改进升级”。

将邻接表中的链表改成平衡二叉查找树。实际开发中，我们可以选择用红黑树。这样，我们就可以更加快速地查找两个顶点之间是否存在边了。当然，这里的二叉查找树可以换成其他动态数据结构，比如跳表、散列表等。除此之外，我们还可以将链表改成有序动态数组，可以通过二分查找的方法来快速定位两个顶点之间否是存在边。

4 如何存储微博、微信等社交网络中的好友关系？

因为社交网络是一张稀疏图，使用邻接矩阵存储比较浪费存储空间。所以，这里我们采用邻接表来存储。
需要一个逆邻接表。邻接表中存储了用户的关注关系，逆邻接表中存储的是用户的被关注关系。
如果要查找某个用户关注了哪些用户，我们可以在邻接表中查找；如果要查找某个用户被哪些用户关注了，我们从逆邻接表中查找。

如果数据规模太大，那就采用哈希算法等数据分片方式，将邻接表存储在不同的机器上；另外一种思路是利用外部存储（比如硬盘），因为外部存储的存储空间要比内存会宽裕很多。数据库是我们经常用来持久化存储关系数据的，所以我这里介绍一种数据库的存储方式。

5 总结

概念：无向图、有向图、带权图、顶点、边、度、入度、出度；
图的两个主要的存储方式：邻接矩阵和邻接表。
接矩阵存储方法的缺点是比较浪费空间，但是优点是查询效率高，而且方便矩阵运算。邻接表存储方法中每个顶点都对应一个链表，存储与其相连接的其他顶点。尽管邻接表的存储方式比较节省存储空间，但链表不方便查找，所以查询效率没有邻接矩阵存储方式高。针对这个问题，邻接表还有改进升级版，即将链表换成更加高效的动态数据结构，比如平衡二叉查找树、跳表、散列表等。

基础的数据结构就是数组和链表， 而后面更加复杂的 树 队列 图 等等 都可以通过数组和链表等方式存储， 出现树 队列 图 等数据结构的原因 就是为了解决 部分问题处理过程中时间复杂度过高的问题