算法系统学习-找第k小值（非等分分治）

非等分二分法

现实中常见的应用就是寻找中值元素（中值是一个很有用的统计量，例如中间工资，中间年龄，中间重量等），因此经常会遇到在“一组数据中取第k小的值”。

按照以前的最好的排序算法的复杂性是O（nlogn），但我们可以利用二分法将复杂度降为O（n），可这个二分法不是简单典型的二分法分解成完全独立，相似的两个问题，因为在选出分解后第一组的第k小的数据和第二组的第k小的数据，不能保证这两个数据之一是原问题的解。

Case1：

求一组数的第二小的数

算法分析：

在用二等分法分解的两个子集中，无论只选取第二小数据或只选取最小的数据，合并处理后都有可能得不到原问题的解。但若在两个子集中都选取最小的两个值，那原问题中第二小的数据则一定在这四个数据中。由此，将问题转化成“求一组数中较小的两个数”后，二等分法分解就可将原问题“分解为原问题独立且相似的两个问题”。

这样，回溯合并的过程就是从两个子问题选出的共4个数中，选取出较小的两个数，直到回溯结束，就得到一组数中较小的两个数，从而得到了原问题的解。

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算法设计：

float a[100];
main(){

    int n;
    float min2;
    cin>>n;
    for(i=0;i>a[i];
    }
    min2=second(n);
    cout<

小结：

以上算法利用“分解为与原问题相似的两个子问题”的技巧，解决了一个个简单的排序问题。但对于选取第k小元素的问题，则从效率上是无法行得通的。难道就不能使用二分法解决这类问题？分治法中当然不仅仅包括二分法，也可以使用“非等份分解方法”的例子

Case2：

对于给定的n个元素的数组a【0：n-1】，要求从中找出第k小的元素，要求找到第k小的元素

问题分析：

选择问题的一个应用就是寻找中值元素，此时k=【n/2】。我们可以首先选取第一个数作为分界数据，将比它小的数据存在它的左边，将比它大的数据存储在右边，它存储在左右两个子集之间。（类似荷兰国旗问题）这样左右子集就是原问题分解后的独立子问题，再用同样的方法，解决这些子问题。知道每个子集只有一个数据，自然就有序了，也就完成了全部数据的排序工作。

可以通过改写快排算法，一趟排序分解出的左子集中元素个数left，可能有一下三种情况：

1. nleft=k-1 ，则分界数据就是选择问题的答案
2. nleft>k-1，则选择问题的答案继续在左子集中找，问题规模变小了

1. nleft

算法设计：

xzwt(int a[],int n,int k)  //返回a【0：n-1】中第k小的元素
{    if(k< 1|| k>n){
error();
}
 return select(a,0,n-1,k);
 
 }
select (int a[],int left,int right,int k){
//在a【left:right】中选择第k小的元素
    
    if(left >=right){
    return a[left];
    }
    int i=left;//从左至右的指针
    j=right+1;//从右至左的指针
    int pivot =a[left];
    while(1){
    	do{
            //在左侧寻找>=pivot的元素
        i=i+1;
        }while(a[i]pivot);//在右侧寻找<=pivot的元素
        if(i>=j){
        break;//未发现交换对象
        }
       Swap(a[i],a[j]);
    
    }
    if(j-left+1=k){
    return pivot;
    }
    a[left]=a[j];//设置pivot
    a[j]=pivot;
    if(j-left+1