常微分方程教程：读书笔记

丁同仁李承治

第一章：基本概念

1.1 微分方程及其解的定义

常微分方程 联系变量以及函数及其高阶导数的方程

为常微分方程，阶数为 n. 若对于未知函数及其导数的次数为一次的话，为线性常微分方程。反之，则为非线性的。

例子.

(1) 为线性常微分方程，(2) 为非线性的。

微分方程的解 设函数在区间上连续，且有阶导数，若将该函数及其导数带入微分方程

等式成立，则称函数为微分方程在区间上的一个解。

微分方程的通解 n阶微分方程的通解可以表示为

其中，为独立的任意常数, 其含义为 Jacobi 行列式
$\frac{D[\varphi,\varphi',\cdots,\varphi^{(n-1)}]}{D[C_1,C_2,\cdots,C_n]} = \begin{bmatrix} \frac{\partial\varphi}{\partial C_1} & \frac{\partial\varphi}{\partial C_2} & \cdots & \frac{\partial\varphi}{\partial C_n} \\ \frac{\partial\varphi'}{\partial C_1} & \frac{\partial'\varphi}{\partial C_2} & \cdots & \frac{\partial'\varphi}{\partial C_n} \\ \cdots\\ \frac{\partial\varphi^{(n-1)}}{\partial C_1} & \frac{\partial\varphi^{(n-1)}}{\partial C_2} & \cdots & \frac{\partial\varphi^{(n-1)}}{\partial C_n} \\ \end{bmatrix}$
不等于 0

理解方法

回忆线性代数的内容若有齐次线性方程组

可以用验证行列式是否为零判别是否线性相关。
同样在此处我们有方程组

有 n个变量，在此处我们固定方便在一点内线性展开
回忆微积分的内容，一元可微函数在处可以线性表示为

同样，拿第一个方程考虑，在点处线性展开
$\varphi(x,C_1,\cdots,C_n) \approx \frac{\partial\varphi}{\partial C_1} (C_1-\overline{C_1})+\frac{\partial\varphi}{\partial C_2} (C_2-\overline{C_2})+\cdots+\frac{\partial\varphi}{\partial C_n} (C_n-\overline{C_n})+\varphi(x,\overline{C_1},\cdots,\overline{C_n})$
又由于

在这里，方程组行列式就是所谓的 Jacobi 行列式

思考：为什么要用以及导数 ?

1.2 微分方程解的几何解释

积分曲线、线素、方向场 考虑一阶微分方程

假设为平面区域内的连续函数，则对于任意的点都可以得出该点的斜率 , 以该斜率作一条线段, 该线段被称为微分方程在点的线素，在区域内构成微分方程的方向场。易得，线素应与该微分方程的解的曲线

也叫积分曲线相切。

奇异点 考虑微分方程

当

时微分方程无意义，称点为奇异点。

ODE 第一章 2020.3.12

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第一章：基本概念

1.1 微分方程及其解的定义

1.2 微分方程解的几何解释

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