高中奥数 2021-05-21

2021-05-21-01

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 元素与集合 P10 习题12）

集合,计算中的二元子集两元素之和组成集合.则.

证明:

先设,可以得到,.

又因为的二元子集的个数有个,每个二元子集都有两个元素,所有二元子集一共计算了个数,且每个数被计算的次数一样,所以每个数被计算了次,即,即.

所以.

由,

,代入上式得,,所以.

.

再由,,得,即.

所以.

综上知,.

2021-05-21-02

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 元素与集合 P10 习题14）

称有限集的所有元素的乘积为的“积数”,给定数集.求集合的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和.

证明:

设集合的所有含有偶数个元数的子集的积数之和为,含有奇数个元数的子集的积数之和为,则,.所以,.解之得.

2021-05-21-03

（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 元素与集合 P10 习题13）

设,,且具有下列两条质:

(1)对任何,恒有;

(2).

试证明:中的奇数的个数是的倍数,且中所有数字的平方和为一个定数.

证明:
由,得.

.

所以,即中所有数字的平方和为一个定数.

设奇数,则,从而.

因为.所以可能是以下两种情形:

(i)中有个奇数;

(ii)中有奇数个奇数2倍,其余为偶数的两倍,总数是100,并用中只有100个偶数,因此这种情况不符合.

综上,中的奇数的个数是的倍数.