动态规划(DP)笔记(一): 简介

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基本术语：

• 阶段：将求解问题的过程分为若干个相互联系的阶段

• 状态：状态表示每个阶段开始棉铃的自然状况和客观条件

• 决策：从当前状态转移至下一状态

• 策略：一系列决策的组合

• 边界：初始集合

1. 状态设计：

   1.1 阶段划分：将原问题划分为若干个不相交的部分，每部分称为一个阶段。

   1.2 状态设计：设计信息来描述当前阶段的各个不同情况，这些不同的情况称为状态，信息则是状态的表示。

2. 决策：决策是从当前状态转移至不同的状态，决策与状态构成一个有向无环图（DAG）

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动态规划的性质：

• 最优子结构：一个最优化的策略，其子策略总是最优的，反过来也可以通过最优子策略推出最优策略。

• 无后效性：当前决策只与当前状态有关，与之前的决策无关。

• 子问题重叠：算法在计算过程中会反复求解一定量的相同的子问题，而不是不断生成新的子问题。也就是说子问题空间不大，或者是状态空间不大，可以通过存储状态的答案加速计算过程。

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动态规划题目特点：

• 最值

• 计数

• 存在性判定(相当于计数是否大于0)

动态规划的实现方式：

• 记忆化搜索：记忆化搜索是比较简单的实现方式，通过数组存储不同状态的答案，当搜索某一状态时，若已经计算过就直接返回，否则向下搜索并存储计算到的答案。

  优点：
  · 能避免无用状态答案的计算
  · 边界问题易于考虑
  · 易于思考，无需考虑状态的计算顺序
  · 可以使用搜索算法的优化技巧

• 递推：利用 for 循环进行状态的枚举更新，需要推导状态转移方程。

  优点：
  · 可以加入动态规划优化
  · 没有记忆搜索的递归栈开销，速度快

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解决步骤小结：

1. 确定状态表示，包含阶段划分和状态表示
2. 写出转移方程
3. 确定边界：初始的情况
4. 如果使用递推，需要考虑状态枚举的顺序

参考

动态规划 – Introduction
本文是基于该博客的笔记，更详细的内容可以在上述链接查看。
这位博主的B站也有配套的视频讲解，我是觉得讲得特好！