Stage 2 计算机基础：可计算性介绍

本文目的：

1.研究可计算性的四个主要模型以及四个模型彼此之间的关系；

2.介绍了计算复杂性的基本概念和重要的研究方法与一些研究成果。

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基本概念：

1.递归函数 编程语言中，函数Func(Type a,……)直接或间接调用函数本身，则该函数称为递归函数。递归函数不能定义为内联函数。 在数学上，关于递归函数的定义如下：对于某一函数f(x)，其定义域是集合A，那么若对于A集合中的某一个值X0，其函数值f(x0)。

2.图灵机 又称图灵计算、图灵计算机，是由数学家艾伦·麦席森·图灵（1912～1954）提出的一种抽象计算模型，即将人们使用纸笔进行数学运算的过程进行抽象，由一个虚拟的机器替代人们进行数学运算。 所谓的图灵机就是指一个抽象的机器，它有一条无限长的纸带，纸带分成了一个一个的小方格，每个方格有不同的颜色。有一个机器头在纸带上移来移去。机器头有一组内部状态，还有一些固定的程序。在每个时刻，机器头都要从当前纸带上读入一个方格信息，然后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格

3.λ演算 λ(Lambda（大写Λ，小写λ）读音：lan b（m） da（兰亩达）['læ;mdə])演算是一套用于研究函数定义、函数应用和递归的形式系统。它由 Alonzo Church 和 Stephen Cole Kleene 在 20 世纪三十年代引入，Church 运用 lambda 演算在 1936 年给出 判定性问题 (Entscheidungsproblem) 的一个否定的答案。这种演算可以用来清晰地定义什么是一个可计算函数。关于两个 lambda 演算表达式是否等价的命题无法通过一个通用的算法来解决。这是不可判定性能够证明的头一个问题，甚至还在停机问题之先。后结合自己的内部状态查找程序表，根据程序输出信息到纸带方格上，并转换自己的内部状态，然后进行移动。由f(f(x0))决定，那么就称f(x)为递归函数。

4.马尔可夫算法 马尔可夫算法是使用类似形式文法的规则在符号串上操作的字符串重写系统。马尔可夫算法被证明是图灵完全的，这意味着它们适合作为一般的计算模型，并可以用它的简单概念表示任何数学表达式。 Refal是基于马尔可夫算法的编程语言。

5.NP完全理论 NP完全问题(NP-C问题)，是世界七大数学难题之一。 NP的英文全称是Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂。

6.复杂性理论（complexity theory）是理论计算机科学和数学的一个分支，它致力于将可计算问题根据它们本身的复杂性分类，以及将这些类别联系起来。一个可计算问题被认为是一个原则上可以用计算机解决的问题，亦即这个问题可以用一系列机械的数学步骤解决，例如算法。

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一.可计算函数

原语言的５条基本指令和约定　　　

可计算函数２个常用函数

考核：用原语言证明函数是可计算函数。

二　递归函数

算子有３种，分别是附和算子，递归算子，取极小算子。全函数与正则函数。

原始的递归函数，只能用符合和递归算子得到的函数称为原始递归函数。例如：

原始递归谓词，谓词P的特征函数是原始递归函数。

可计算谓词，谓词P的特征函数是可计算的。相关定理：

递归与可计算性的关系：可计算递归；部分可计算部分递归

考核：1 证明函数是原始递归函数；

           2 用原语言程序5条基本指令计算谓词的特征函数

三　POST-TURING程序和TURING机

P-T程序，双向无穷带符号B和1，指令6个如下：

数X在带上的表示 : X (0=1,1=11,3=1111)

F(X1,X2.....Xn)的初值在带上表示：X1BX2B.....Bxn   (2,0,3)=111B1B1111

结果：带上的1的个数减 1。

P-T部分可就算与P-T可计算。

广义的P-T机：

四　半图厄系统

半图厄系统semi-thue system，半图厄系统现在考虑处理符号串的一种系统,这部分的内容和形式语言理论有密切联系。

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