【高等数学】无穷级数篇——总结

【高等数学】无穷级数总结篇

---

无穷级数主要思考两个问题：

1、能不能求和：

即能不能收敛（从级数求和的定义中我们知道级数的敛散性和其对应的部分和的敛散性相同）

2、 如果能求和，则进一步思考：

1）函数项级数在哪里收敛：即收敛域是什么

2）收敛得到的值为多少：也就是求数项级数的和/函数项级数的和函数

我们把无穷级数分为【数项级数】和【函数项级数】进行总结：

1、 【数项级数】的表现形式如下：（数项级数也叫常数项级数，其中是与n有关的式子）

1） 为了简单起见，我们从【数项级数】中的一种特殊情况【正项级数】入手：

判断【正项级数】是否收敛的三大方法：

a．比较判别法：（比较判别法有两种形式：不等式和极限，其中极限形式更为常用）

比较判别法的不等式形式定义如下：（从定义我们可以看出来，比较判别法的难点在于找到合适的参照级数）

由经验可知，比较判别法的已知参照级数多为几何级数和p级数 。因此记住这两个级数何时收敛，会大大提高我们的做题效率。

比较判别法的极限形式定义如下：

b．比值判别法：（不用参照级数，所以更加常用，通常级数的通项中存在n！时使用）

c． 根值判别法：（不用参照级数，也很常用，通常级数的通项中存在  时使用）

2）对于【数项级数】中的【一般项级数】:

我们首先考虑其加绝对值后的【正项级数】的收敛性，如果正项级数收敛，则原级数也收敛，称为【绝对收敛】。

相反，如果正项级数发散，而原级数收敛，则称原级数为【条件收敛】。

如果正项级数和原级数都发散，则原级数发散。

3）对于【数项级数】中【一般项级数】有一种特殊情况，即【交错级数】：

我们可以用【莱布尼兹判别法】判断【交错级数】是否收敛：

2、【函数项级数】表现形式如下：

我们可以把【函数项级数】抽象地想象成多个【数项级数】的集合：

1）对于【一般的函数项级数】我们通过几何级数 的q代入不同的值，变换得出。例如：

我们知道：

则通过对q的不同变换可得：

2）【函数项级数】中最简单、最常见的【幂级数】，表现形式如下：

对【幂级数】，我们解决文章开头提出的两个问题：

a．能不能求和：

我们利用对【数项级数】的一般化，将其方法运用到【函数项级数】的敛散性判断中。

b.  如果能求和/收敛：

在哪里收敛：

我们利用收敛半径确定收敛域：（函数项级数在[-R,R]收敛）

收敛到的值是多少：

利用级数运算和导数运算、积分运算、极限运算的性质求【和函数】，例如：

3）最后关于【函数项级数】的展开问题，作者再另外一篇文章中有详细分析

下面是本文的行文思路，思维导图模式：