CSP-S2021提高组第二轮T2：括号序列

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[CSP-S 2021] 括号序列

题目描述

小 w 在赛场上遇到了这样一个题：一个长度为 $n$ 且符合规范的括号序列，其有些位置已经确定了，有些位置尚未确定，求这样的括号序列一共有多少个。

身经百战的小 w 当然一眼就秒了这题，不仅如此，他还觉得一场正式比赛出这么简单的模板题也太小儿科了，于是他把这题进行了加强之后顺手扔给了小 c。

具体而言，小 w 定义“超级括号序列”是由字符 (、)、* 组成的字符串，并且对于某个给定的常数 $k$，给出了“符合规范的超级括号序列”的定义如下：

1. ()、(S) 均是符合规范的超级括号序列，其中 S 表示任意一个仅由不超过 $\mathbf{k}$ 个字符 * 组成的非空字符串（以下两条规则中的 S 均为此含义）；
2. 如果字符串 A 和 B 均为符合规范的超级括号序列，那么字符串 AB、ASB 均为符合规范的超级括号序列，其中 AB 表示把字符串 A 和字符串 B 拼接在一起形成的字符串；
3. 如果字符串 A 为符合规范的超级括号序列，那么字符串 (A)、(SA)、(AS) 均为符合规范的超级括号序列。
4. 所有符合规范的超级括号序列均可通过上述 3 条规则得到。

例如，若 $k=3$，则字符串 ((**()*(*))*)(***) 是符合规范的超级括号序列，但字符串 *()、(*()*)、((**))*)、(****(*)) 均不是。特别地，空字符串也不被视为符合规范的超级括号序列。

现在给出一个长度为 $n$ 的超级括号序列，其中有一些位置的字符已经确定，另外一些位置的字符尚未确定（用 ? 表示）。小 w 希望能计算出：有多少种将所有尚未确定的字符一一确定的方法，使得得到的字符串是一个符合规范的超级括号序列？

可怜的小 c 并不会做这道题，于是只好请求你来帮忙。

输入格式

第一行，两个正整数 $n,k$。

第二行，一个长度为 $n$ 且仅由 (、)、*、? 构成的字符串 $S$。

输出格式

输出一个非负整数表示答案对 ${10}^9+7$ 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

7 3
(*??*??

样例输出 #1

5

样例 #2

样例输入 #2

10 2
???(*??(?)

样例输出 #2

19

提示

【样例解释 #1】

如下几种方案是符合规范的：

(**)*()
(**(*))
(*(**))
(*)**()
(*)(**)

【数据范围】

测试点编号	$n\le$	特殊性质
$1\sim 3$	$15$	无
$4\sim 8$	$40$	无
$9\sim 13$	$100$	无
$14\sim 15$	$500$	$S$ 串中仅含有字符 ?
$16\sim 20$	$500$	无

对于 $100\%$ 的数据，$1\le k\le n\le 500$。

算法思想

根据题目描述，符合规范的超级括号序列有下面几种情况：

• ()
• (S)，将S加上一层括号是符合规范的。其中 S 表示任意一个仅由不超过 $\mathbf{k}$ 个字符 * 组成的非空字符串；
• (A)表示对一个符合规范的序列再加一层括号也符合规范的
• (SA)、(AS)表示在一个符合规范的序列左边（或右边）连接一个S再加一层括号也是符合规范的
• AB表示并排在一起的符合规范的序列也是合法的
• ASB表示将S放在并排在一起的符合规范的序列之中也是合法的

若 $k=3$，则字符串 ((**()*(*))*)(***)是否合法可以这样分析：

• 字符串的右边(***)是一个合法的序列(S)，如果左边的子串((**()*(*))*)是一个合法序列，则并排在一起符合规范AB。
• ((**()*(*))*)如果其中的子串(**()*(*))是一个合法序列，则符合规范(AS)。
• (**()*(*))如果其中的子串()*(*)是一个合法序列，则符合规范(SA)。
• ()*(*)符合规范ASB，是一个合法序列

因此整个序列是符合规范的超级括号序列。

也就是说，对于字符串中任意一个区间$[i,j]$判断是否符合规范，则需要判断其子区间是否符合规范，那么可以使用区间动态规划来处理。

状态表示

$f[i][j]$表示将字符串中从$i$到$j$位置的字符确定后，得到的字符串是一个符合规范的超级括号序列的方案数。由于从$i$到$j$位置的字符可能是其中的一个子串，因此存在多种合法的状态：

1. $f[i][j][0]$表示由单独的符合规范的超级括号序列组成的方案数，形式如()、(S)、(A)、(SA)、(AS)。
2. $f[i][j][1]$表示由并排的符合规范的超级括号序列组成的方案数，形式如AB、ASB。
3. $f[i][j][2]$表示仅由不超过 $\mathbf{k}$ 个字符 * 组成的方案数，形式如*、**…。需要注意的是只有 * 组成的子串无法单独构成符合规范的超级括号序列。
4. $f[i][j][3]$表示由符合规范的超级括号序列+不超过 $\mathbf{k}$ 个* 组成的方案数，形式如AS。该方案也无法单独构成符合规范的超级括号序列。
5. $f[i][j][4]$表示由不超过 $\mathbf{k}$ 个 * + 符合规范的超级括号序列组成的方案数，形式如SA。该方案也无法单独构成符合规范的超级括号序列。

最终的方案总数为$f[1][n][0]+f[1][n][1]$, 其中$n$表示字符串 $S$的长度。

状态计算

• $f[i][j][0]$表示由单独的符合规范的超级括号序列组成的方案数，那么去掉$i$、$j$位置的括号后，子串的形式可以是空串、A、AB、S、SA、AS的任意一种情况，因此，$f[i][j][0]=f[i+1][j-1][0]+f[i+1][j-1][1]+f[i+1][j-1][2]+f[i+1][j-1][3]+f[i+1][j-1][4]$

  注意：当长度为$2$时，也就是只有括号的情况下，子串为空，$f[i][j][0]=1$。

• $f[i][j][1]$表示由并排的符合规范的超级括号序列组成的方案数，如果以一个符合规范的超级括号序列B进行分类，那么子串的形式可以是A、AS。因此可以枚举最后一个B和前面的分界点$k$，$f[i][j][1]={\sum }_{k=i}^{j-1}(f[i][k][0]+f[i][k][1]+f[i][k][3])\times f[k+1][j][0]$

• $f[i][j][2]$表示仅由 * 组成的方案数，只能从状态$[2]$转移过来，所以$f[i][j][2]=f[i+1][j][2]$

  注意：当长度为$1$时，且只有*的情况下，$f[i][j][2]=1$

• $f[i][j][3]$表示由符合规范的超级括号序列+* 组成的方案数，以后面的S进行分类，前面的子串形式可以是A，AB，因此可以枚举S和前面的分界点$k$，$f[i][j][3]={\sum }_{k=i}^{j-1}(f[i][k][0]+f[i][k][1])\times f[k+1][j][2]$

• $f[i][j][4]$表示由* + 符合规范的超级括号序列组成的方案数，以前面的S进行分类，前面的子串形式可以是A，AB，因此可以枚举S和后面的分界点$k$，$f[i][j][4]={\sum }_{k=i}^{j-1}f[i][k][2]\times (f[k+1][j][0]+f[k+1][j][1])$

时间复杂度

• 状态数为$n\times n\times 5$
• 状态计算需要枚举分界位置，时间复杂度最大为$O(n)$

总的时间复杂度为$O(5\times n^3)=625,000,000$，由于枚举区间起点和分界位置的时间复杂度要低于$O(n)$，刚好可以AC。

代码实现

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 510, MOD = 1e9 + 7;
char s[N];
/*
f[i][j][0]表示由单独的符合规范的序列组成的方案数
f[i][j][1]表示由并排的符合规范的序列组成的方案数
f[i][j][2]表示仅由*组成的方案数
f[i][j][3]表示由符合规范的序列 + *组成的方案数
f[i][j][4]表示由* + 符合规范的序列组成的方案数
*/
int f[N][N][5];
//判断a和b是否匹配
bool is_match(char a, char b)
{
    return a == b || a == '?';
}
int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    cin >> s + 1; //字符串下标从1开始
    //枚举区间长度
    for(int len = 1; len <= n; len ++)
    {
        //枚举区间开始位置
        for(int i = 1; i + len - 1 <= n; i ++)
        {
            int j = i + len - 1; //结束位置
            if(len == 1) //区间长度为1
            {
                //只有1个星号
                if(is_match(s[i], '*')) f[i][j][2] = 1;
            }
            else
            {
                //计算状态[0]，由单独的符合规范的序列组成的方案数
                if(is_match(s[i], '(') && is_match(s[j], ')'))
                {
                    //当长度为2时，也就是只有括号的情况下，子串为空
                    if(len == 2) f[i][j][0] = 1;
                    //[0] = [0] + [1] + [2] + [3] + [4]
                    for(int k = 0; k < 5; k ++)
                        f[i][j][0] = (f[i][j][0] + f[i + 1][j - 1][k]) % MOD;
                }
                //计算状态[2]，仅由*组成的方案数
                if(len <= m && is_match(s[i], '*'))
                    f[i][j][2] = f[i + 1][j][2];
                //枚举分界位置，计算其它状态[1]、[3]、[4]
                for(int k = i; k < j; k ++)
                {
                    f[i][j][1] = (f[i][j][1] + (f[i][k][0] + (LL)f[i][k][1] + f[i][k][3]) * f[k + 1][j][0]) % MOD;
                    f[i][j][3] = (f[i][j][3] + (f[i][k][0] + (LL)f[i][k][1]) * f[k + 1][j][2]) % MOD;
                    f[i][j][4] = (f[i][j][4] + f[i][k][2] * ((LL)f[k + 1][j][0] + f[k + 1][j][1])) % MOD;
                }
            }
        }
    }
    cout << (f[1][n][0] + f[1][n][1]) % MOD;
    return 0;
}