常用电机模型整理

直流电机+BDCM+开关磁阻电机+多相永磁电机
本文汇总了以上四种电机的状态方程表示形式以及用等效受控源实现的方式。

1. 直流电机

图1.1 PLECS中直流电机模型

1.1 直流电机的状态方程表示

图1.2 PLECS中直流电机等效电路

$$\{\begin{array}{c}{V}_f=i_f^{(1)}{L}_f+R_f{i}_f\\ V_a=R_a{i}_a+L_a{i}_a^{(1)}+E_a\\ E_a=L_{af}{i}_f{\omega }_m\\ {\omega }_m^{(1)}=\frac{1}{J}(T_e-F{\omega }_m-T_m)\\ T_e=L_{af}{i}_f{i}_a\\ {\theta }_m^{(1)}={\omega }_m\end{array}(1.1)$$
进一步将上式整理成$x^{(1)}=f(x,t)$的形式。

$$\{\begin{array}{c}{i}_a^{(1)}=\frac{1}{L_m}(V_a-R_a{i}_a-L_{af}{i}_f{\omega }_m)\\ i_f^{(1)}=\frac{1}{L_f}(V_f-R_f{i}_f)\\ {\omega }_m^{(1)}=\frac{1}{J}(L_{af}{i}_f{i}_a-F{\omega }_m-T_m)\\ {\theta }_m^{(1)}={\omega }_m\end{array}(1.2)$$

1.2 直流电机的等效受控源表示

图1.3 PLECS中直流电机等效受控源表示

2. 无刷直流电机（BLDC）

图2.1 PLECS中BLDC模型

2.1 BLDC的状态方程表示

图2.2 PLECS中BLDC等效模型 从图2.2可以看到，等效的电动势和电感都会随着角度发生变化。原因如下，转子是形状不规则的永磁体，因此变化时会影响自感以及互感。转子所形成的反电动势不是三角函数，而是类似于梯形，因此其反动势需要用泰勒展开的方式表示。

$$\{\begin{array}{c}{V}_{abc}=R{i}_{abc}+L({\theta }_e)\frac{d{i}_{abc}}{dt}+\frac{dL({\theta }_e)}{dt}{i}_{abc}+e_{abc}({\theta }_e,{\omega }_m)\\ {\omega }_m^{(1)}=\frac{1}{J}(T_e+T_{cog}({\theta }_e)-F{\omega }_m-T_m)\\ T_e={\sum }_{x=a,b,c}{k}_e,x{i}_x+\frac{p}{2}\frac{d{L}_x}{d{\theta }_e}{i}_x^2\\ {\theta }_e^{(1)}=p{\omega }_m\end{array}(2.1)$$其中，下标abc代表的是三相值所构成的向量。
公式(2.1)中的可变电感以及电动势还需要具体解释：
$$L({\theta }_e)=\left\{\begin{array}{c}{L}_0-M+{\sum }_n{L}_{c,n}cos(n{\theta }_e)+L_{s,n}sin(n{\theta }_e)\\ L_0-M+{\sum }_n{L}_{c,n}cos(n{\theta }_e-\frac{2\pi n}{3})+L_{s,n}sin(n{\theta }_e-\frac{2\pi n}{3})\\ L_0-M+{\sum }_n{L}_{c,n}cos(n{\theta }_e+\frac{2\pi n}{3})+L_{s,n}sin(n{\theta }_e+\frac{2\pi n}{3})\end{array}\right\}(2.2)$$

$$\frac{dL({\theta }_e)}{d{\theta }_e}=\left\{\begin{array}{c}{\sum }_n-L_{c,n}n\times sin(n{\theta }_e)+L_{s,n}n\times cos(n{\theta }_e)\\ {\sum }_n-L_{c,n}n\times sin(n{\theta }_e-\frac{2\pi n}{3})+L_{s,n}n\times cos(n{\theta }_e-\frac{2\pi n}{3})\\ {\sum }_n-L_{c,n}n\times sin(n{\theta }_e+\frac{2\pi n}{3})+L_{s,n}n\times cos(n{\theta }_e+\frac{2\pi n}{3})\end{array}\right\}(2.3)$$

$$\frac{dL({\theta }_e)}{dt}=\frac{dL({\theta }_e)}{d{\theta }_e}p{\omega }_m(2.4)$$

$$e_{abc}({\theta }_e,{\omega }_m)={\omega }_m\ast \left\{\begin{array}{c}{\sum }_n{K}_{c,n}cos(n{\theta }_e)+K_{s,n}sin(n{\theta }_e)\\ {\sum }_n{K}_{c,n}cos(n{\theta }_e-\frac{2\pi n}{3})+K_{s,n}sin(n{\theta }_e-\frac{2\pi n}{3})\\ {\sum }_n{K}_{c,n}cos(n{\theta }_e+\frac{2\pi n}{3})+K_{s,n}sin(n{\theta }_e+\frac{2\pi n}{3})\end{array}\right\}(2.5)$$
需要用解方程的方法得到状态变量的导数值。

2.2 BLDC的等效受控源表示

图2.3 PLECS中直流电机等效受控源表示

相比于直流电机，BLDC电机的等效受控源实现显然更加的复杂。其中需要实现Fourier计算模块和可变电感。可变电感的输出参数是$\frac{dL}{dt}$。

3. 开关磁阻电机

(a)6/4

(b)10/8

(c)8/6 图3.1 PLECS中开关磁阻电机模型 值得注意的是，PLECS中开关磁阻电机只能用连续状态方程方法仿真。

3.1 开关磁阻电机的状态方程表示

图3.2 PLECS中开关磁阻电机等效模型 开关磁阻电机的磁链考虑了其饱和性质，因此其电感不仅与转子角度有关还和电流大小有关。此处，认为磁链可以写成如下形式：

$${\Psi }_x(i_x，\theta )=L_u{i}_x+f_x(\theta )({\Psi }_a(i_x)-L_u{i}_x)(2.1)$$
其中，${\Psi }_a(i_x)$表示的是在对准角度时，磁链与电流的关系，此时是非线性关系。${\Psi }_a(i_x)$的具体形式如下：

$${\Psi }_a(i_x)={\Psi }_{sat}(1-e^{-K{i}_x})+L_{sat}{i}_x(2.2)$$
其中，$K=\frac{L_a-L_{sat}}{{\Psi }_{sat}}$。
式(2.1)中的$f(\theta )$表示电机中对于特定定子相的角度，$f(\theta )$的具体形式如下所示：

$$f_x(\theta )=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos(N_r[\theta +2\pi \cdot \frac{x}{N_s}]),x=0,\cdots ,(N_s/2-1)（2.3）$$
其中，$N_r$和$N_s$分别是转子和定子的极数。（PLECS模型中的数字就分别代表$N_r$和$N_s$）

$$\{\begin{array}{c}{V}_x=R{i}_x+\frac{\partial {\Psi }_x}{\partial i_x}\frac{di}{dt}+\frac{\partial {\Psi }_x}{\partial \theta }\frac{d\theta }{dt}\\ {\omega }^{(1)}=\frac{1}{J}(T_e-F{\omega }_m-T_m)\\ T_e={\sum }_{x=0,\cdots ,(\frac{N_s}{2}-1)}{T}_x(i_x)\\ {\theta }^{(1)}=\omega \end{array}(2.4)$$其中，$T_x$的具体形式如下：

$$T_x=\frac{\partial }{\partial \theta }{\int }_0^{i_x}{\Psi }_x(i^{\prime },\theta )d{i}^{\prime }(2.5)$$
上式看着非常复杂，但是不难发现是存在解析解的。

3.2 开关磁阻电机的等效受控源表示

图3.3 PLECS中直流电机等效受控源表示 看似简单，但是内部的Flux Linkage模块非常复杂。

4. 多相PMSM（多三相）

该电机没有被PLECS建模。此处摘录了一份笔记。

也可以进行dq变换得到更简单的方程形式。

该笔记来源于@所长。