2021-07-11-01
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P91 习题11）
在平面上任给个点,其中任意三点不共线,并把其中个点染成红色,个点染成蓝色.求证:可以一红一蓝地把它们连成条线段,使这些线段互不相交.
证明
因为总共只有个点,将红点与蓝点一一配对方法只有有限种.对于每一种配对方法,都会得到这条线段的长度和,这种和数只有有限个(其实不超过个),其中必有一个是最小的.下面来证明,这时候这条线段是互不相交的.
假定此时有两条线段和相交,其中、是红点,、是蓝点,设它们的交点为(如图).由于,所以,当我们将与配对与配对,其他的保持不变时,条线段的长度和就减少了,矛盾.
因此,这时候条线段是互不相交的.
2021-07-11-02
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P91 习题12）
平面上有个点,其中任意三点不共线,且任意三点构成的三角形的面积都小于.证明:存在一个面积小于的三角形包含这个点.
证明
取个点中任意三点作一个三角形,三角形的个数是有限的,每一个三角形都有一个面积,取其中面积最大的一个记为.
由于每个三角形的面积都小于,所以.
过顶点、、分别作对边的平行线,得到一个,如图所示显然.
下面证明包含了这个点用反证法.
设外还有这个点中的一点,设为,如图.
则,这与的面积最大矛盾.
于是即为所求.
2021-07-11-03
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P91 习题13）
个足球队参加全国冠军赛,问最少应该进行多少场比赛,才能使得任何个队中总有两个队彼此比赛过?
解
设进行了场比赛后,任何队中都已有两队彼此比赛过.
设队是所有球队参赛场次最少的一个球队,它共参赛场.
于是已经与队比赛过的队至少进行了k场比赛.没与赛过的个队中的任何两队之间都得赛一场,否则存在个队,其中任何两队都未彼此赛过.
于是有.
这意味着至少进行场比赛.
另一方面,将个球队均分成两组,每组内的任何两队之间比赛一场,不同组的任何两队之间不赛,则共进行了场比赛.
由于任何个队中总有两个队在一组,它们之间已经进行了一场比赛,故知这种安排满足题中要求.
2021-07-11-04
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P91 习题14）
设有个人,其中有些人相互认识.证明:可用适当方式把他们分成两组,使每人都至少有一半熟人不跟他在同一组.
证明
设有个熟人,其中有个不与同组.
这里是随分组变化而变化的.
本题相当于证明:存在一个适当的分组法,对一切,有.
由于总人数只有有限多个,分组方法也只有有限多种,从而和也只有有限多个不同的值.
于是,必存在某种分组法,使上面的和取得最大值,记这个最大值为.
下面证明:使最大的分组方法符合要求.
否则,对这种分组法存在某个人,不妨设为甲组的,他在乙组的熟人数.
于是在甲组中的熟人数为.
现把从甲组调入乙组,其余的人不动.
对这个重新分组,都未变,这时,在甲组的熟人数变为与他不同组的熟人数,从而变为.
这时有,这与是最大值矛盾.
2021-07-11-05
（本题来源：数学奥林匹克小丛书 第二版 集合 刘诗雄 极端原理 P91 习题15）
平面上有若干个圆,它们所盖住的面积为.证明:一定可以从这些圆中去掉一部分圆,使得余下的圆互不相交,且它们所覆盖的面积不小于.
证明
显然应尽可能地保留些大圆而去掉小圆,为此,将这些圆适当“排序”设这若干个圆中最大的一个是,其半径为,则与相交的所有圆必落在以为圆心,为半径的圆内.因此,的面积不小于这组圆所覆盖面积的.
去掉与相交的所有圆,余下的圆与不相交,再设这些圆中除外最大的一个是,仿上讨论知的面积不小于所有与相交的一组圆所覆盖面积的.
去掉与相交的所有圆,如此继续,直到它们彼此都不相交,且面积都不小于与自己相交的那一组圆面积的 (它们中的某几个也可能一开始就不与任何一个圆相交而被保留下来).所以,它们所覆盖的面积不小于总覆盖面积的.