16.自旋

什么是自旋？

粒子的角动量和角动量平方是两个可同时测量的物理量，通过量子数L，M确定其状态，但是，这样的描述是不完全的，对于确定的L可以有2L+1种M的取值，但是，这些取值都是相对于z轴而言的，当坐标系旋转导致z轴改变时，就没有这种确定的值了，变成了2L+1个本征函数的线性组合，这种线性组合还需要一个新的参数来描述，就是自旋。至此，角动量在坐标旋转下的变换才得以完全确定。于是，角动量分为轨道角动量和自旋角动量。自旋角动量就是这种全新的参量。

自旋是广泛存在的，不仅对单个粒子，还是复合粒子。由于新加入了一个量，所以粒子的波函数也要发生改变，不仅与坐标有关，还与自旋有关。自旋就通过自旋变量体现出来。

有了变量，就有对应算符，称为自旋算符。自旋算符和轨道角动量算符的性质差不多，都是在一个方向上有定值，然后就是平方有定值。自旋体现了粒子的性质，基本粒子大多具有1/2的自旋，像电子，质子和中子。

然后给出了总角动量的定义，就是轨道角动量和自旋角动量的和，本征值还要考虑矢量加法原则进行取值。

自旋算符作用在离散变量上，所以可表为有限的矩阵元，对于1/2自旋的粒子可表为泡利矩阵。然后是旋量，旋量就是用来表示波函数的不同自旋分量的量，就像张量一样，于是，可以通过旋量来表示波函数在旋转下的变换性质。

旋量上可以发展代数，就是旋量代数，定义乘法，缩并，不变量，对称旋量，反对称旋量，度规旋量等概念。对称旋量反映了坐标旋转后，一组量的变换规律。所以和我们所要求得自旋分量的变换对应的很好。

因此，求解过程就可以表示为，首先，将粒子波函数表示为对称旋量的形式，然后根据自旋算符对旋量的作用公式，求得作用后的旋量，最后将旋量表示为波函数的形式。本质上还是同构的那一套。

旋转群的不可约表示，一个是不可约张量，一个是对称旋量，一个是球谐函数。其实就指出了这一问题的三种解法。通过同构关系，可以互相转化。

先到这吧。