Non-local KDE 如何应对类似于AIS的数据？

考虑因素的分析

在处理北极船舶的自动识别系统（AIS）数据时，使用非局部核密度估计（Non-Local KDE）意味着要考虑数据点之间的空间相关性。这在北极这样的动态和复杂环境中尤为重要，因为船舶的运动和分布受到诸多因素的影响，如海冰、气候条件和航道可用性等。

非局部 KDE 的关键考虑标准：空间相关性

在空间层面上，最关键的考虑标准是空间相关性。这意味着在估计任何特定位置的密度时，不仅要考虑该位置附近的数据点，还要考虑距离较远但可能相关的点。例如，在冰区附近的船舶分布可能会受到远处海冰边缘的影响。

也就是说，在这种十分复杂而又变化极快的环境中，不能仅仅考虑数据的分布状态，还要进一步考虑数据之间的关联性。有时候，即使距离很远，某些人或者事物之间，也存在着不可忽略、不可磨灭的关联。

在非局部 KDE 中考虑空间相关性

1. 距离权重：在非局部 KDE 中，可以为每个数据点分配一个基于其与评估点距离的权重。这种权重不仅取决于物理距离，还可以包含其他影响因素，如相邻航道的存在、海冰分布等。

2. 自定义核函数：可能需要设计一个自定义的核函数，以合理地反映北极航海环境的特殊性。例如，这个核函数可以使得在海冰密集区域附近的船舶对密度估计的影响增大。

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代码实操

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import gaussian_kde

# 假设的 AIS 数据（这里使用随机数据模拟）
np.random.seed(0)
longitude = np.random.uniform(-180, 180, 1000)  # 经度
latitude = np.random.uniform(-90, 90, 1000)    # 纬度

# 自定义非局部核函数
def non_local_kernel(distance, additional_factor):
    # 这里可以根据需要设计更复杂的核函数
    return np.exp(-distance**2) * additional_factor

# 计算非局部 KDE
def non_local_kde_evaluation(eval_point, data_points, additional_factors):
    densities = np.zeros_like(eval_point[:, 0])
    for i, point in enumerate(eval_point):
        distance = np.sqrt((data_points[:, 0] - point[0])**2 + (data_points[:, 1] - point[1])**2)
        kernel_values = non_local_kernel(distance, additional_factors)
        densities[i] = np.sum(kernel_values)
    return densities / len(data_points)

# 构造评估点（在这个例子中为网格点）
eval_points = np.mgrid[-180:180:360j, -90:90:180j].reshape(2, -1).T

# 假设的额外影响因子，比如与海冰边缘的距离（在此为随机模拟）
additional_factors = np.random.uniform(0.5, 1.5, len(longitude))

# 执行非局部 KDE
density = non_local_kde_evaluation(eval_points, np.column_stack((longitude, latitude)), additional_factors)

# 可视化结果
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.scatter(eval_points[:, 0], eval_points[:, 1], c=density, cmap='viridis', s=1)
plt.colorbar(label='Density')
plt.title('Non-Local KDE of AIS Data in Arctic Region')
plt.xlabel('Longitude')
plt.ylabel('Latitude')
plt.show()

在这个示例中，non_local_kernel 函数定义了一个考虑额外影响因子的核函数。这个因子可以是任何影响船舶分布的因素，例如与海冰的距离。在KDE中，核函数通常使用高斯函数，符合正态分布，并且没有考虑到additional_factor这样的因子。然后，non_local_kde_evaluation 函数计算了在每个评估点上的密度估计，这些估计考虑了非局部影响。

在核密度估计（KDE）中，评估点和实际数据点的维度数通常保持一致。这是因为我们想在相同的空间（例如二维空间中的经度和纬度）内评估数据的密度。在非局部核密度估计（Non-Local KDE）中，这一点尤其重要，因为非局部性意味着考虑了数据点之间的空间关系。

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非局部 KDE 的计算过程

下面是对上述代码中非局部 KDE 计算过程的详细解释：

1. 定义核函数：在 non_local_kernel 函数中，定义了一个核函数，它根据数据点与评估点之间的距离和额外的影响因子（如与海冰边缘的距离）来计算核值。这个核函数基于高斯函数，但加入了额外因子的影响。

   def non_local_kernel(distance, additional_factor):
       return np.exp(-distance**2) * additional_factor
   

2. 核密度估计的计算：non_local_kde_evaluation 函数遍历每个评估点，并对每个评估点计算所有数据点的核函数值之和。

   def non_local_kde_evaluation(eval_point, data_points, additional_factors):
       densities = np.zeros_like(eval_point[:, 0])
       for i, point in enumerate(eval_point):
           distance = np.sqrt((data_points[:, 0] - point[0])**2 + (data_points[:, 1] - point[1])**2)
           kernel_values = non_local_kernel(distance, additional_factors)
           densities[i] = np.sum(kernel_values)
       return densities / len(data_points)
   

   • 计算每个评估点与所有数据点之间的距离。
   • 应用核函数计算每个数据点在该评估点的贡献，并乘以额外的影响因子。
   • 将所有核函数值相加，得到评估点的密度估计。
   • 最后，将累加的核函数值除以数据点的总数，以得到平均密度。

3. 生成评估点：评估点是在感兴趣的空间内均匀分布的点，用于在这些点上计算密度估计。

   eval_points = np.mgrid[-180:180:360j, -90:90:180j].reshape(2, -1).T
   

   对于AIS数据的评估点，很容易理解其处于二维网格中。

4. 执行非局部 KDE 并可视化结果：使用上述函数对给定的数据集（在此例中为模拟的 AIS 数据）和额外影响因子执行非局部 KDE，并使用散点图可视化结果。结果图如下（因为是示例，所以没有实际意义）：

在非局部 KDE 中，考虑了额外的空间相关性和影响因子，这使得密度估计能够更准确地反映复杂的空间关系，例如北极航道中的船舶分布。通过对评估点进行密度估计并可视化，我们能够得到对数据分布在空间上的细致理解，这在分析船舶行为和环境影响等方面非常有用。