剑指 Offer（第2版）面试题 11：旋转数组的最小数字

剑指 Offer（第2版）面试题 11：旋转数组的最小数字

题目来源：22. 旋转数组的最小数字

解法1：二分查找

一个包含重复元素的升序数组在经过旋转之后，可以得到下面可视化的折线图：

其中横轴表示数组元素的下标，纵轴表示数组元素的值。图中标出了最小值的位置，是我们需要查找的目标。

我们考虑数组中的最后一个元素 x：在最小值右侧的元素，它们的值一定都小于等于 x；而在最小值左侧的元素，它们的值一定都大于等于 x。因此，我们可以根据这一条性质，通过二分查找的方法找出最小值。

在二分查找的每一步中，左边界为 low，右边界为 high，区间的中点为 pivot，最小值就在该区间内。我们将中轴元素 nums[pivot] 与右边界元素 nums[high] 进行比较，可能会有以下的三种情况：

第一种情况是 nums[pivot]

第二种情况是 nums[pivot]>nums[high]。如下图所示，这说明 nums[pivot] 是最小值左侧的元素，因此我们可以忽略二分查找区间的左半部分。

第三种情况是 nums[pivot]==nums[high]。如下图所示，由于重复元素的存在，我们并不能确定 nums[pivot] 究竟在最小值的左侧还是右侧，因此我们不能莽撞地忽略某一部分的元素。我们唯一可以知道的是，由于它们的值相同，所以无论 nums[high] 是不是最小值，都有一个它的「替代品」 nums[pivot]，因此我们可以忽略二分查找区间的右端点。

当二分查找结束时，我们就得到了最小值所在的位置。

代码：

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        // 特判
        if(nums.empty())
            return -1;
        int n = nums.size();
        int left = 0, right = n-1;
        while(left <= right)
        {
            int mid = (left+right)/2;
            if (nums[mid] < nums[right])
                right = mid;
            else if(nums[mid] > nums[right])
                left = mid+1;
            else right--;
        }
        return nums[left];
    }
};

复杂度分析：

时间复杂度：平均时间复杂度为 O(logn)，其中 n 是数组 nums 的长度。如果数组是随机生成的，那么数组中包含相同元素的概率很低，在二分查找的过程中，大部分情况都会忽略一半的区间。而在最坏情况下，如果数组中的元素完全相同，那么 while 循环就需要执行 n 次，每次忽略区间的右端点，时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度：O(1)。

PS：书上的解法太绕了，很难看懂，这里用 LeetCode 上的做法。