剑指 Offer(第2版)面试题 11:旋转数组的最小数字

剑指 Offer(第2版)面试题 11:旋转数组的最小数字

  • 剑指 Offer(第2版)面试题 11:旋转数组的最小数字
    • 解法1:二分查找

剑指 Offer(第2版)面试题 11:旋转数组的最小数字

题目来源:22. 旋转数组的最小数字

解法1:二分查找

一个包含重复元素的升序数组在经过旋转之后,可以得到下面可视化的折线图:

剑指 Offer(第2版)面试题 11:旋转数组的最小数字_第1张图片

其中横轴表示数组元素的下标,纵轴表示数组元素的值。图中标出了最小值的位置,是我们需要查找的目标。

我们考虑数组中的最后一个元素 x:在最小值右侧的元素,它们的值一定都小于等于 x;而在最小值左侧的元素,它们的值一定都大于等于 x。因此,我们可以根据这一条性质,通过二分查找的方法找出最小值。

在二分查找的每一步中,左边界为 low,右边界为 high,区间的中点为 pivot,最小值就在该区间内。我们将中轴元素 nums[pivot] 与右边界元素 nums[high] 进行比较,可能会有以下的三种情况:

第一种情况是 nums[pivot]

剑指 Offer(第2版)面试题 11:旋转数组的最小数字_第2张图片

第二种情况是 nums[pivot]>nums[high]。如下图所示,这说明 nums[pivot] 是最小值左侧的元素,因此我们可以忽略二分查找区间的左半部分。

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第三种情况是 nums[pivot]==nums[high]。如下图所示,由于重复元素的存在,我们并不能确定 nums[pivot] 究竟在最小值的左侧还是右侧,因此我们不能莽撞地忽略某一部分的元素。我们唯一可以知道的是,由于它们的值相同,所以无论 nums[high] 是不是最小值,都有一个它的「替代品」 nums[pivot],因此我们可以忽略二分查找区间的右端点。

剑指 Offer(第2版)面试题 11:旋转数组的最小数字_第4张图片

当二分查找结束时,我们就得到了最小值所在的位置。

代码:

class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums) {
        // 特判
        if(nums.empty())
            return -1;
        int n = nums.size();
        int left = 0, right = n-1;
        while(left <= right)
        {
            int mid = (left+right)/2;
            if (nums[mid] < nums[right])
                right = mid;
            else if(nums[mid] > nums[right])
                left = mid+1;
            else right--;
        }
        return nums[left];
    }
};

复杂度分析:

时间复杂度:平均时间复杂度为 O(logn),其中 n 是数组 nums 的长度。如果数组是随机生成的,那么数组中包含相同元素的概率很低,在二分查找的过程中,大部分情况都会忽略一半的区间。而在最坏情况下,如果数组中的元素完全相同,那么 while 循环就需要执行 n 次,每次忽略区间的右端点,时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度:O(1)。

PS:书上的解法太绕了,很难看懂,这里用 LeetCode 上的做法。

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