【图论】重庆大学图论与应用课程期末复习资料2-各章考点(填空证明部分)(私人复习资料)

图论各章考点

  • 一、图与网络的基本概念
  • 二、树
  • 三、连通性
  • 四、路径算法
  • 五、匹配
  • 六、行遍性问题
  • 七、平面图

一、图与网络的基本概念

  1. 生成子图:生成子图 G ’ G’ G中顶点个数V’必须和原图G中V的数量相同,而 E ’ ∈ E E’∈E EE即可。
  2. 顶点集导出子图 V 1 ⊆ V V1⊆V V1V,以 V 1 V1 V1为顶点集,两个端点都在 V V V中的边为边集的 G G G的子图。
  3. 边集导出子图 E 1 ⊆ E E1⊆E E1E,以 E 1 E1 E1为边集, E 1 E1 E1的端点集为顶点集的图 G G G的子图。
  4. 简单图:既无环又无重边的图为简单图
  5. 完备图:任二顶点相邻的简单图,称为完备图,记为 K n K_n Kn其中n 为顶点的数目
  6. 二部图:一个图是偶图(二部图)当且当它不包含奇圈
  7. 握手定理:图 G = ( V , E ) G= (V, E) G=(V,E)中所有顶点的度的和等于边数m的2倍
  8. 同构:顶点集之间存在一一对应关系,边也有一一对应的关系,则称图 G G G H H H同构,有向图的同构对应边的方向要相同。必要条件 (1) 顶点数相同(2) 边数相同(3) 关联边数相同的顶点个数相同。

二、树

  1. :无圈连通图称为树
  2. 树充要条件 G G G无环且任何两个顶点之间有唯一的路径
  3. 树充要条件 G G G连通,且 e ( G ) = V ( G ) − 1 e(G)=V(G)-1 e(G)=V(G)1
  4. 树充要条件 G G G连通,且对 G G G的任一边 e , G − e e,G-e e,Ge不连通
  5. 生成树 G G G的边数最少的连通生成子图

三、连通性

  1. 点连通度:设 G G G连通, V ⊂ V ( G ) , G [ V − V ] V⊂V(G), G[V-V] VV(G),G[VV]不连通,则称 V V V G G G的点断集。最小点断集中顶点的个数称为 G G G的连通度记为 K ( G ) K(G) K(G),若 G G G无点断集,则规定 K ( G ) = n − 1 K(G)=n-1 K(G)=n1 平凡图、不连通图 = 0 平凡图、不连通图=0 平凡图、不连通图=0
  2. 边连通度:设 G G G连通, E ⊂ E ( G ) E⊂E(G) EE(G), G − E G-E GE(从 G G G中删除 E E E中的边)不连通,则称 E E E G G G的边断集。最小边断集所含的边数称为 G G G的边连通度记为 K ‘ ( G ) K‘(G) K(G),当 ∣ E ′ ∣ = 1 |E'|=1 E=1时,称E中的边 e e e为割边, 平凡图、不连通图 = 0 平凡图、不连通图=0 平凡图、不连通图=0
  3. k连通图:若一个图的连通度至少为 k k k,则称该图是 k k k连通的。于是,非平凡连通图均是 1 1 1连通的;图 G G G是2连通的当且仅当 G G G连通、无割点且至少含有 3 3 3个点。
  4. 点连通度、边连通度、最小度 K ( G ) < = K ′ ( G ) < = δ ( G ) K(G)<=K'(G)<=δ(G) K(G)<=K(G)<=δG
  5. 割边:设e是图G的一条边,若 ω ( G − e ) > ω ( G ) ω(G-e)>ω(G) ω(Ge)ω(G), 则称 e e e G G G的割边。 e e e是图 G G G的割边,当且仅当 e e e不在 G G G的任何圈中。
  6. 割点 v v v G G G的割点当且仅当 V ( G − v ) V(G-v) V(Gv)可划分为两个非空顶点子集 V 1 V_1 V1 V 2 V_2 V2,使 x ∈ V 1 , y ∈ V 2 x∈V_1,y∈V_2 xV1yV2,点v都在每一条 ( x , y ) (x, y) (x,y) 路上。
  7. 割集 [ S , S ′ ] [S, S'] [S,S]表示一个端点在 S S S,另一个端点在 S S S的全体边组成的集合,设 G G G连通,若 [ S , S ’ ] [S,S’] [S,S]只把 G G G断成两个分支,则称 [ S , S ′ ] [S, S'] [S,S] G G G的一个割集。
  8. 树和图:设 v v v是树的顶点,则 v v v G G G的割点当且仅当度 d ( v ) > = 2 d(v)>=2 d(v)>=2

习题15:去掉 e = ( u , v ) e= (u, v) e=(u,v) ,在 G − e G-e Ge u u u所在的分支仅有一个奇度顶点,与握手定理矛盾

习题16:反证法, e = ( u , v ) e= (u, v) e=(u,v) G − e G-e Ge u u u所在的分支 G 1 G_1 G1 G 1 G_1 G1为二部图,因为二部图所有子图均为二部图,则 Σ ( G 1 ) = k ∣ X 1 ∣ = k ∣ Y 1 ∣ − 1 = > k Σ(G_1)=k|X_1|=k|Y_1|-1=>k ΣG1=kX1=kY11=>k ( ∣ X 1 ∣ − ∣ Y 1 ∣ ) = 1 ( k > = 2 ) (|X_1|-|Y_1|)=1(k>=2) X1Y1=1k>=2,不成立

四、路径算法

  1. Floyd:复杂度 O ( n 3 ) O(n^3) On3

五、匹配

  1. 边独立集(匹配):如果 M M M是图 G G G的边子集(不含环),且 M M M中的任意两条边没有共同顶点,则称 M M M G G G的一个匹配
  2. 最大匹配:如果 M M M是图 G G G的包含边数最多的匹配,称 M M M G G G的一个最大匹配。特别是,若最大匹配饱和了 G G G的所有顶点,称它为 G G G的一个完美匹配(理想匹配)
  3. 二部图理想匹配:若 G G G k ( k > 0 ) k (k>0) k(k>0)正则偶图,则 G G G存在完美匹配
  4. 贝尔热定理 G G G的匹配 M M M是最大匹配,当且仅当 G G G不包含M可扩路
  5. Hall定理:二分图存在完美匹配当且仅当 ∀ S ⊆ A \forall S\subseteq A SA,都有 ∣ N ( S ) ∣ ⩾ ∣ S ∣ |N(S)|\geqslant |S| N(S)S
  6. 哥尼定理:在偶图中,最大匹配的边数等于最小覆盖的顶点数
  7. 托特定理:图 G G G有完美匹配当且仅当对V的任意非空真子集S, 有: (奇分支数目 ) ∣ o ( G − S ) ∣ ⩽ ∣ S ∣ (奇分支数目)|o(G-S)|\leqslant |S| (奇分支数目)o(GS)S

六、行遍性问题

  1. 欧拉巡回:经过 G G G的每边正好一次的巡回称为欧拉巡回
  2. 欧拉图:存在欧拉巡回的图称为欧拉图或E图
  3. 欧拉图的充要条件:连通、无奇度顶点
  4. 欧拉道路的充要条件:连通、最多只有两个奇度顶点
  5. 哈米尔顿路径:经过图 G G G每个顶点正好一次的路径,简称 H H H路径。
  6. 哈米尔顿图:经过 G G G的每个顶点正好一次的圈为H圈。含H圈的图称为哈米尔顿图或 H H H图。
  7. H图的必要条件 其 ∀ S ⊂ V , S ≠ ∅ ω ( G − S ) ≤ ∣ S ∣ 其 \forall S \subset V ,S \neq \varnothing \\ \omega ( G - S ) \leq | S | SVS=ω(GS)S

七、平面图

  1. 平面图:一个图若能在曲面 S S S上画出,使任两边在非顶点处不相交,则称此图可以在曲面 S S S上嵌人。可嵌入平面的图称为可嵌平面图,否则称为非平面图。可嵌平面图 G G G嵌人平面形成的图,称为 G G G的平面嵌入。
  2. 欧拉公式:设 G = ( n , m ) G=(n, m) G=(n,m)是连通平面图, ϕ \phi ϕ是G的面数, n − m + ϕ = 2 n - m + \phi = 2 nm+ϕ=2
  3. 平面图推论 G G G v > = 3 v>=3 v>=3的简单平面图, ε ≤ 3 v − 6 \varepsilon \leq 3 v - 6 ε3v6 δ ( G ) ≤ 5 \delta ( G ) \leq 5 δ(G)5
  4. 库拉托夫斯基定理:图 G G G是非可平面的,当且仅当它含有 K 5 K_5 K5 K 3 , 3 K_{3,3} K3,3细分的子图

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