PageRank算法原理与Python实现
1 PageRank算法简介
PageRank算法，即网页排名算法，由Google创始人Larry Page在斯坦福上学的时候提出来的。该算法用于对网页进行排名，排名高的网页表示该网页被访问的概率高。
该算法的主要思想有两点：
如果多个网页指向某个网页A，则网页A的排名较高。
如果排名高A的网页指向某个网页B，则网页B的排名也较高，即网页B的排名受指向其的网页的排名的影响。
2 PageRank算法原理
2.1 简单的PageRank算法
如图是一个4个网页之间的链接情况：
假设网页X的排名用PR(X)表示，则A的排名为PR(A)，由图可知，网页B和C指向了网页A，那么网页A的排名可以表示为：
网页C只指向了A，不指向其他网页，然而网页B不仅指向了A，还指向了D，因此上面的公式更合理地修改为：
意思是，B的PageRank值被分给了A和D，而C的PageRank值全都给了A。
2.2 考虑没有出边（outlink）的网页
有的网页，没有指向其他网页，如下图中的C网页。
那么，假设网页C的PageRank值被均分为到图中的所有网页（4个网页），那么A网页的PageRank值可以表示为：
2.3 网页链接中存在环
图中网页C指向网页C，不指向其他网页。现实中，网页自己指向自己的情况可能不太常见，但是有可能的情况是：若干个页面形成一个环，那么用户在进入其中某个网页的时候，就陷入这个循环中。
假设当一个用户，遇上这种情况时，以某个概率α随机指向其他任意一个网页，每个网页的概率相等。因此上图中的网页A的PageRank值可以表示为：
上面这个公式可以解释为：α表示用户从网页B以概率α链接到网页A，后面的（1-α）表示用户从网页C以概率（1-α）链接到网页A。
即：
网页B的PageRank值分配情况为：α*1/2给A，α*1/2给D，(1-α)/4分别给4个网页。
网页C的PageRank值分配情况为：α*1给自己C（1-α）*1/4分别给其他网页。
2.4 更一般的PageRank公式
综合上面的论述，一般的PageRank计算公式为：
其中S(X)表示，指向网页X的所有网页的集合，n_i表示网页Y_i的出边数量，N表示所有网页总数，α一般取0.85。
3 PageRank值的计算方法
3.1 迭代法
利用前面得到的公式，进行迭代，直到迭代前后两次的差值在允许的阈值范围内，迭代结束。
当然，可以将迭代过程写成矩阵形式。推导过程如下：
针对前面的最后一个网络图，可以分别得到各个网页的PageRank值得计算公式，如下：
写成矩阵的形式为：
可以将上面的列向量和矩阵分别记为一些符号，上式表示为：
还有更简洁的记法，记
A是一个常数矩阵，那么，就有迭代公式：
也可以根据这个公式，进行迭代。
3.2 代数法
因为，PageRank算法最终收敛（这个结论可以证明，此文不证明），因此，收敛时刻的PageRank 值组成的列向量P应当满足：
因此有：
这个方法不用迭代，求出矩阵的逆，就可以求出PageRank值组成的列向量P（然而，计算大规模的矩阵的逆，也是个难题。因此，这个方法代码简单，但效率可能不如迭代方法高）
4 Python实现
下面仅仅实现迭代法，代码如下，需要用到Python的numpy库用于矩阵乘法：
# 输入为一个*.txt文件，例如
# A B
# B C
# B A
# ...表示前者指向后者
import numpy as np
# 读入有向图，存储边
with open('input_1.txt', 'r') as f:
content = f.readlines()
edges = [line.strip('\n').split(' ') for line in content]
print(edges)
# 根据边获取节点的集合
nodes = []
for edge in edges:
if edge[0] not in nodes:
nodes.append(edge[0])
if edge[1] not in nodes:
nodes.append(edge[1])
print(nodes)
N = len(nodes)
# 将节点符号（字母），映射成阿拉伯数字，便于后面生成A矩阵/S矩阵
node_to_num = {}
for i, node in enumerate(nodes):
node_to_num[node] = i
for edge in edges:
edge[0] = node_to_num[edge[0]]
edge[1] = node_to_num[edge[1]]
print(edges)
# 生成初步的S矩阵
S = np.zeros([N, N])
for edge in edges:
S[edge[1], edge[0]] = 1
print(S)
# 计算比例：即一个网页对其他网页的PageRank值的贡献，即进行列的归一化处理
for j in range(N):
sum_of_col = sum(S[:, j])
for i in range(N):
S[i, j] /= sum_of_col
print(S)
# 计算矩阵A
alpha = 0.85
A = alpha * S + (1 - alpha) / N * np.ones([N, N])
print(A)
# 生成初始的PageRank值，记录在P_n中，P_n和P_n1均用于迭代
P_n = np.ones(N) / N
P_n1 = np.zeros(N)
e = 100000 # 误差初始化
k = 0 # 记录迭代次数
print('loop...')
while e > 0.000000001: # 开始迭代
P_n1 = np.dot(A, P_n) # 迭代公式
e = P_n1 - P_n
e = max(map(abs, e)) # 计算误差
P_n = P_n1
k += 1
print('iteration %s:' % str(k), P_n1)
print('final result:', P_n)输入的input_1.txt文本内容为：
A B
A C
A D
B D
C E
D E
B E
E A结果为：
最后的一个数组，分别为A, B, C, D, E的PageRank值，其中E最高， A第二高， B和C相同均最低。
可以看出，有3条边指向E。再看，指向A的这个点是E点，因此A的PageRank值也很高，可以说“A沾了E的光”。
上面的可视化代码如下：
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
# 读入有向图，存储边
f = open('input_1.txt', 'r')
edges = [line.strip('\n').split(' ') for line in f]
G = nx.DiGraph()
for edge in edges:
G.add_edge(edge[0], edge[1])
nx.draw(G, with_labels=True)
plt.show()