二维向量的旋转

在二维坐标系中，一个向量的旋转就是绕某个点的旋转，假设此点为原点，作下图：

二维向量旋转示意图

即已知向量  和旋转角度 ， 求旋转后向量 

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设 的长度为 ， 和  与  轴的夹角分别为  和 

则 和 的极坐标形式分别为：

和 

据图，，则：

把 带入上式，则

即得到从一个向量到另一个向量的线性变换。若旋转中心不为原点，先平移至原点，经过上述旋转变换后再反平移回原旋转中心。

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此线性变换还可以表达为矩阵乘积的形式：

用一个二阶行矩阵表示向量  为：， 为 

有： 

则二维向量旋转 度角的变换矩阵可以表示为：

若朝反方向（即顺时针）旋转，只需将 改为，根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，

得到顺时针旋转的变换矩阵：