Toys——约瑟夫环问题

Lark收藏了很多玩具。尽管她有很多玩具，但她每次只喜欢玩一个。她决定玩哪个玩具，把所有玩具放在她周围的一个圆圈里，编号为 0 到 T-1 。然后，她顺时针旋转，去除第K个玩具，直到剩下一个为止。这意味着她拿走的第一个玩具是有编号的K−1。如果在这个仪式中移动了任何玩具，Lark就会开始哭泣，然后按照原来的顺序重新排列玩具。
今天，Lark想让她的爸爸和她一起玩玩具。在Lark挑选的玩具中，她的父亲当然有一个最喜欢的玩具，当然也希望能选择那个特定的玩具。他应该把他最喜欢的玩具放在哪个位置，以确保这就是他们最终玩的玩具？

Input
输入是由2个整数组成 T和K,表示Lark拥有的玩具数量和在选择下一个要丢弃的玩具时跳跃长度。

Output
输出一个整数，父亲需要放置他最喜欢的玩具的位置，以供选择。Lark将在位置0 开始计数。

【数据范围】
1≤T≤10000000 ,1≤K≤1000000,K≤T

输入样例1：
5 2
输出样例1：
2

输入样例2：
25 18
输出样例2：
1

解析：

我们采用倒推，我们倒推出：最后剩下的这个数字，在最开始的数组中的位置。

剩下最后一个数字（简称“它”）的时候，总个数为 1，它的下标 pos=0。
那么它在上一轮也是安全的，总个数为 2，它的下标 pos=(0+m)%2； （解释：在上一轮中，它前面的数字（即下标为 m-1 的数字）被删走了；因此它的下标是 m；由于是环，因此需要 %2）
那么它在上上轮也是安全的，总个数为 3，它的下标 pos=(((0+m)%2)+m)%3；
那么它在上上上轮也是安全的，总个数为 4，它的下标 pos=((((0+m)%2)+m)%3+m)%4；
...
那么它在游戏开始的第一轮也是安全的，总个数为 n，它的下标就是最优位置，即父亲需要放置他最喜欢的玩具的位置。

也就是说如果从下向上反推的时候：假如它下一轮的下标为 pos，那么当前轮次的下标就是： (pos+m) 当前轮次的人数。

一、暴力(超时)

#include 
using namespace std;
#define int long long 
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
typedef pair PII;
const int N=1e7+10;
int n,m;
bool p[N];
signed main()
{
    ios;
    cin>>n>>m;
    int cnt=n;
    int k=-1,falg=0;
    while (1)
    {
        k++;
        if (!p[k%n]) falg++;
        if (falg==m)
        {
            cnt--;
            p[k%n]=1;
            if (!cnt)
            {
                if (k%n) cout<

二、递归

#include 
using namespace std;
#define int long long 
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
typedef pair PII;
const int N=1e7+10;
int find(int n,int k)
{
    if (n<=1)
    {
        return 0;
    }
    return (find(n-1,k)+k)%n;
}
int n,k;
signed main()
{
    ios;
    cin>>n>>k;
    cout<

三、递推(根据二)

#include 
using namespace std;
#define ios ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define int long long
typedef pair PII;
const int N=1e7+10;
int find(int n,int k)
{
    int ans=0;
    for (int i=2;i<=n;i++) ans=(ans+k)%i;
    return ans;
}
int n,k;
signed main()
{
    ios;
    cin>>n>>k;
    cout<