图解「差分」入门（“前缀和“ 到 “差分“ 丝滑过渡）
题目描述
这是 LeetCode 上的 「1094. 拼车」 ，难度为 「中等」。
Tag : 「差分」、「前缀和」
车上最初有 capacity 个空座位，车只能向一个方向行驶（不允许掉头或改变方向）。
给定整数 capacity 和一个数组 trips, 表示第 i 次旅行有 乘客，接他们和放他们的位置分别是 和 。
这些位置是从汽车的初始位置向东的公里数。
当且仅当你可以在所有给定的行程中接送所有乘客时，返回 true，否则请返回 false。
示例 1：
输入：trips = [[2,1,5],[3,3,7]], capacity = 4
输出：false
示例 2：
输入：trips = [[2,1,5],[3,3,7]], capacity = 5
输出：true
提示：
差分
从朴素的想法开始：创建一个数组 cnt，用于存储从某个站点出发时，车上的乘客数量。
例如 含义为在站点 出发时（在该站点的下车和上车均完成），车上乘客数为 个。
对于每个 ，我们需要对 范围内的 进行加 操作。
处理完 trips 后，检查所有站点的乘客人数，根据是否满足 capacity 限制返回答案。
因此，这是一个关于「区间修改，单点查询」的经典问题，可使用「差分」求解。
所谓“差分”，是指 「原数组中每个元素与前一元素之差所形成的数组」，与之相对应的是“前缀和”。
我们知道，对原数组进行诸位累加（前缀计算操作），所得到的数组为前缀和数组。差分数组，则是对其执行前缀计算后，能够得到原数组的那个数组 。
关于「差分数组 - 原数组 - 前缀和数组」三者关系如图所示：
前缀和数组的主要作用，是利用「容斥原理」快速求解某段之和。例如要查询原数组 nums 中下标范围 的和，可通过 快速求解。
差分数组的主要作用，是帮助快速修改某段区间。
由于差分数组执行「前缀计算」后得到的是原数组，因此在差分数组上修改某个值，会对原数组某段后缀产生相同的影响。
因此，「当我们想要对原数组的 进行整体修改时，只需要对差分数组的 和 位置执行相应操作即可」。
举个 ，假设想对原数组 nums 的 进行整体“加一”操作，那么可转换为对差分数组 c[l] 的加一操作（等价对原数组的 进行加一），以及对差分数组 c[r + 1] 的减一操作（等价于对原数组的 进行减一，最终只有 有加一效果）。
至此，我们完成了对「差分」的基本学习：「将原数组的区间修改等价为差分数组的特定位置修改」。
回到本题，起始先用 nums 来作为差分数组，对于 ，有 个乘客在 点上车，在 点下车，因此对 进行整体加 操作，对应差分数组操作 nums[a] += c; nums[b] -= c。
处理完 trips 后，对差分数组 nums 进行前缀计算（可直接复用 nums，进行原地计算），便可得到各个站点的乘客数量，与 capacity 比较得出答案。
一些细节：为了方便，人为规定站点编号从 开始。
Java 代码：
class Solution {
public boolean carPooling(int[][] trips, int capacity) {
int[] nums = new int[1010];
for (int[] t : trips) {
int c = t[0], a = t[1], b = t[2];
nums[a + 1] += c; nums[b + 1] -= c;
}
for (int i = 1; i <= 1000; i++) {
nums[i] += nums[i - 1];
if (nums[i] > capacity) return false;
}
return true;
}
}
C++ 代码：
class Solution {
public:
bool carPooling(vector<vector<int>>& trips, int capacity) {
vector<int> nums(1010, 0);
for (const auto& t : trips) {
int c = t[0], a = t[1], b = t[2];
nums[a + 1] += c; nums[b + 1] -= c;
}
for (int i = 1; i <= 1000; i++) {
nums[i] += nums[i - 1];
if (nums[i] > capacity) return false;
}
return true;
}
};
Python 代码：
class Solution:
def carPooling(self, trips: List[List[int]], capacity: int) -> bool:
nums = [0] * 1010
for t in trips:
c, a, b = t[0], t[1], t[2]
nums[a + 1] += c
nums[b + 1] -= c
for i in range(1, 1001):
nums[i] += nums[i - 1]
if nums[i] > capacity: return False
return True
TypeScript 代码：
function carPooling(trips: number[][], capacity: number): boolean {
const nums = new Array(1010).fill(0);
for (const t of trips) {
const c = t[0], a = t[1], b = t[2];
nums[a + 1] += c; nums[b + 1] -= c;
}
for (let i = 1; i <= 1000; i++) {
nums[i] += nums[i - 1];
if (nums[i] > capacity) return false;
}
return true;
};
- 时间复杂度： ，其中 为数组
trips大小； 为位置值域大小 - 空间复杂度：
最后
这是我们「刷穿 LeetCode」系列文章的第 No.1094 篇，系列开始于 2021/01/01，截止于起始日 LeetCode 上共有 1916 道题目，部分是有锁题，我们将先把所有不带锁的题目刷完。
在这个系列文章里面，除了讲解解题思路以外，还会尽可能给出最为简洁的代码。如果涉及通解还会相应的代码模板。
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