劳斯-霍尔维茨系统稳定性判据

劳斯-霍尔维茨系统稳定性判据

一般用于判断极点是否全部在 s 的左半平面上，即系统是否稳定

一、定义

实系数 n 阶方程（ $H(s)$ 的分母 ），其特征方程为
$$D(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n=0$$
让 $D(s)=0$ 的跟全部在 s 平面的左半开平面的 充要条件 是：

1. 多项式系数符号相同且无缺项
2. 劳斯-霍尔维茨阵列中第一列符号相同；若不相同，则符号改变的次数就是 $D(s)=0$ 在右半平面上所具有的根的个数

劳斯-霍尔维茨阵列构造规则：

前两行：
$$\begin{array}{ccccc}{a}_n& a_{n-2}& a_{n-4}& a_{n-6}& \cdots \\ a_{n-1}& a_{n-3}& a_{n-5}& a_{n-7}& \cdots \end{array}$$
从第三行开始，每一项根据上两行得到：
$$\begin{array}{cccc}\cdots & a_{n-2,n}& a_{n-2,n+1}& \cdots \\ \cdots & a_{n-1,n}& a_{n-1,n+1}& \cdots \\ \cdots & a_{n,n}& \cdots & \end{array}$$

$$a_{n,n}=-\frac{\left|\begin{array}{cc}{a}_{n-2,n}& a_{n-2,n+1}\\ a_{n-1,n}& a_{n-1,n+1}\end{array}\right|}{a_{n-1,n}}$$

二、使用劳斯-霍尔维茨判据的场景

对于判断系统 $H(s)$ 是否稳定，如果 $H(s)$ 为下面这种形式，可以直接找到极点的位置并判断是否全部在 s 的左半平面
$$H(s)=K\cdot \frac{{\prod }_{i=1}^m(s-a_i)}{{\prod }_{j=1}^n(s-b_j)}$$
但是如果 $H(s)$ 为形式
$$H(s)=K\cdot \frac{{\prod }_{i=1}^m(s-a_i)}{a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n}$$
对于 n 阶方程，考虑 虚数解 的情况下，一定有 n 个解。通过一般的求导分析函数的方法不好分析虚数解的位置，所以需要使用 劳斯霍尔维茨判据 来判断极点是否在 s 的左半平面