重积分的应用@物理应用部分@质心@转动惯量@引力
文章目录
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- abstract
- 相关概念
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- 质心
- 重心
- 质心的计算
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- 平面质心基本概念
- 薄片质心
- 静矩元素
- 薄片质心坐标
- 均匀薄片的质心
- 形心坐标
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- 例
- 对称图形的质心
- 例
- 空间体的质心
- 均匀半球的质心
- 转动惯量
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- 平面薄片的转动惯量
- 计算方法
- 空间体的情形
- 例
- 例
- 引力(`*`)
abstract
- 重积分的应用(物理应用)
- 质心
- 转动惯量
- 引力
- 元素法的应用
相关概念
- 质心 (wikipedia.org)
质心
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质心为多质点系统的质量中心。
- 若对该点施力，系统会沿着力的方向运动、不会旋转。
- 质点位置对质量加权取平均值，可得质心位置。
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以质心的概念计算力学通常比较简单。
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质心对应的英文有 center of mass 与 barycenter（或 barycentre)。
- 后者指两个或多个物体互绕物体的质量中心。
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在几何学，质心不等同于重心，是二维形状的几何中心。
重心
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重力作用的平均位置，定义为各质点相对于重心(质心)的位置向量乘上各质点的重力之和(合力矩)为零。
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质心不一定要在有重力场的系统中才会有意义，而重心则否。
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值得注意的是，除非重力场是均匀的，否则同一物质系统的质心与重心通常不在同一假想点上。
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对于密度均匀、形状对称分布的物体，其质心位于其几何中心处
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在两质点系统中，取质心为原点，两质点连线为x轴，则两质点坐标 x 1 x_1 x1和 x 2 x_2 x2与质量 m 1 m_{1} m1与 m 2 m_{2} m2有如下关系：
x 1 x 2 = − m 2 m 1 {\displaystyle {\frac {x_{1}}{x_{2}}}=-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}} x2x1=−m1m2
质心的计算
平面质心基本概念
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设在平面 x O y xOy xOy上有 n n n个质点,它们分别位于点 P 1 ( x 1 , y 1 ) , ⋯ , P n ( x n , y n ) P_1(x_1,y_1),\cdots,P_n(x_n,y_n) P1(x1,y1),⋯,Pn(xn,yn)处,质量分别为 m 1 , ⋯ , m n m_1,\cdots,m_n m1,⋯,mn
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由力学知识,该质点系 P P P的质心坐标为
(1)- x ‾ \overline{x} x= M y M \frac{M_{y}}{M} MMy
(1-1) - y ‾ \overline{y} y= M x M \frac{M_{x}}{M} MMx
(1-2)
- x ‾ \overline{x} x= M y M \frac{M_{y}}{M} MMy
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相关概念:
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式组(1)中
- M M M= ∑ i = 1 n m i {\sum_{i=1}^{n}m_{i}} ∑i=1nmi;
- M y M_{y} My= ∑ i = 1 n m i x i {\sum_{i=1}^{n}m_{i}x_{i}} ∑i=1nmixi;
- M x M_{x} Mx= ∑ i = 1 n m i y i {\sum_{i=1}^{n}m_{i}}y_{i} ∑i=1nmiyi
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其中 M M M称为质点系的总质量
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M y , M x M_{y},M_{x} My,Mx分别为改质点系对 y y y轴和 x x x轴的静矩
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薄片质心
- 设有一平面薄片,占有坐标面 x O y xOy xOy面上的闭区域 D D D
- 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的面密度为 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y),假定 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)在 D D D上连续,现在要找到该薄片的质心的坐标
静矩元素
- 在闭区域 D D D上任取一直径很小的闭区域 d σ \mathrm{d}\sigma dσ(其面积也极为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ), P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)是着小闭区域上的一点
- 因为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小,且 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)在 D D D上连续,所以薄片相应于 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的部分的质量 m m m,近似于 μ ( x , y ) d σ \mu(x,y)\mathrm{d}\sigma μ(x,y)dσ,这部分质量可以近似看作集中在点 P P P上,于是有静矩元素:
- d M y \mathrm{d}M_{y} dMy= x μ ( x , y ) d σ x\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma xμ(x,y)dσ,
(2-1) - d M x = y μ ( x , y ) d σ \mathrm{d}M_{x}=y\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma dMx=yμ(x,y)dσ
(2-2)
- d M y \mathrm{d}M_{y} dMy= x μ ( x , y ) d σ x\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma xμ(x,y)dσ,
薄片质心坐标
- 以上述元素为被积表达式,在闭区域 D D D上积分,可得
- M y M_{y} My= ∬ D x μ ( x , y ) d σ \iint_{D}x\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dxμ(x,y)dσ,
(3-1) - M x M_{x} Mx= ∬ D y μ ( x , y ) d σ \iint_{D}y\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dyμ(x,y)dσ
(3-2)
- M y M_{y} My= ∬ D x μ ( x , y ) d σ \iint_{D}x\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dxμ(x,y)dσ,
- 而薄片的质量可以直接有二重积分得到 M M M= ∬ D μ ( x , y ) d σ \iint_{D}\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dμ(x,y)dσ
(4) - 所以薄片的质心的坐标为(将式(3-1,3-2,4)分别代入到(1-1,1-2)),所得坐标就是薄片质心坐标
均匀薄片的质心
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若薄片是均匀的,即面密度 μ \mu μ为常量,则式中 μ \mu μ提到积分号外面,并从分子分母中约去,得公式
(5)- x ‾ \overline{x} x= 1 A ∬ D x d σ \frac{1}{A}\iint_{D}x\mathrm{d}\sigma A1∬Dxdσ
- y ‾ \overline{y} y= 1 A ∬ D y d σ \frac{1}{A}\iint_{D}y\mathrm{d}\sigma A1∬Dydσ
- 其中 A A A= ∬ D d σ \iint_{D}\mathrm{d}\sigma ∬Ddσ为闭区域 D D D的面积
形心坐标
- 这时薄片的质心完全由闭区域 D D D的形状所决定,我们把均匀平面薄片的质心称为平面薄片所占的平面图形的形心
- 因此,平面图形 D D D的形心的坐标,可以用公式(5)计算
- 而空间区域的形心可以用公式
(5')- x ‾ \overline{x} x= 1 M ∭ Ω x d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}x\mathrm{d}v M1∭Ωxdv
- y ‾ \overline{y} y= 1 M ∭ Ω y d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}y\mathrm{d}v M1∭Ωydv
- z ‾ \overline{z} z= 1 M ∭ Ω z d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v M1∭Ωzdv
- 其中 M M M= ∭ Ω d v \iiint_{\Omega}\mathrm{d}v ∭Ωdv
例
- 设 Ω \Omega Ω= { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ z ⩽ 1 } \set{(x,y,z)|x^2+y^2\leqslant{z}\leqslant{1}} {(x,y,z)∣x2+y2⩽z⩽1},则 Ω \Omega Ω的形心的竖坐标(z轴坐标)?
- 解
- 分析 Ω \Omega Ω区域是一个顶点位于 ( 0 , 0 , 0 ) (0,0,0) (0,0,0)的开口向上的旋转抛物面,被平面 z = 1 z=1 z=1所截,取 z ∈ [ 0 , 1 ] z\in[0,1] z∈[0,1]的部分
- 利用公式 z ‾ \overline{z} z= 1 M ∭ Ω z d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v M1∭Ωzdv计算
- 需要计算下面两个积分,使用先二后一的顺序积分较为方便
- M M M= ∭ Ω d v \iiint_{\Omega}\mathrm{d}v ∭Ωdv= ∫ 0 1 d z ∬ x 2 + y 2 ⩽ z d v \int_{0}^{1}\mathrm{d}z\iint_{x^2+y^2\leqslant{z}}\mathrm{d}v ∫01dz∬x2+y2⩽zdv= ∫ 0 1 π z d z \int_{0}^{1}\pi{z}\mathrm{d}z ∫01πzdz= π 2 \frac{\pi}{2} 2π
- 注意投影面 D z : x 2 + y 2 ⩽ z D_{z}:x^2+y^2\leqslant{z} Dz:x2+y2⩽z是一个圆域,半径为 z \sqrt{z} z,(而不是 z z z)
- 面积为 π z \pi{z} πz
- ∭ Ω z d v \iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v ∭Ωzdv= ∫ 0 1 z d z ∬ x 2 + y 2 ⩽ z d v \int_{0}^{1}z\mathrm{d}z\iint_{x^2+y^2\leqslant{z}}\mathrm{d}v ∫01zdz∬x2+y2⩽zdv= ∫ 0 1 π z 2 d z \int_{0}^{1}\pi{z^2}\mathrm{d}z ∫01πz2dz= π 3 \frac{\pi}{3} 3π
- 需要计算下面两个积分,使用先二后一的顺序积分较为方便
- 综上, z ‾ \overline{z} z= 2 3 \frac{2}{3} 32
对称图形的质心
- 若均匀平面薄片由对称轴,则质心一定位于对称轴上
- 反证法:设质心不再对称轴上,则质心一定倾斜)
例
- 求位于两圆 ρ = 2 sin θ \rho=2\sin\theta ρ=2sinθ, ρ = 4 sin θ \rho=4\sin\theta ρ=4sinθ之间的均匀薄片的质心
- 容易确定两个圆的半径分别为 1 , 2 1,2 1,2,圆心分别为 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1), ( 0 , 2 ) (0,2) (0,2)
- 由于所研究薄片关于 x = 0 x=0 x=0对称,所以质心一定在 x = 0 x=0 x=0上
- 而 y ‾ \overline{y} y= 1 A ∬ D y d σ \frac{1}{A}\iint_{D}y\mathrm{d}\sigma A1∬Dydσ= 1 ( 4 π − π ) ∫ 0 π d θ ∫ 2 sin θ 4 sin θ ρ sin θ ⋅ ρ d ρ \frac{1}{(4\pi-\pi)} \int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta \int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho\sin\theta\cdot\rho\mathrm{d}\rho (4π−π)1∫0πdθ∫2sinθ4sinθρsinθ⋅ρdρ= 1 3 π ⋅ 7 π \frac{1}{3\pi}\cdot{7\pi} 3π1⋅7π= 7 3 \frac{7}{3} 37
- 其中 ∫ 2 sin θ 4 sin θ ρ sin θ ⋅ ρ d ρ \int_{2\sin\theta}^{4\sin\theta}\rho\sin\theta\cdot\rho\mathrm{d}\rho ∫2sinθ4sinθρsinθ⋅ρdρ= 56 3 ∫ 0 π sin 4 θ d θ \frac{56}{3}\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\theta\mathrm{d}\theta 356∫0πsin4θdθ= 14 3 ( 1 − 2 cos θ + cos 2 2 θ ) \frac{14}{3}(1-2\cos\theta+\cos^22\theta) 314(1−2cosθ+cos22θ)= 14 3 ( θ − sin 2 θ + 1 2 ( 1 + cos 4 θ ) ) ∣ 0 π \frac{14}{3}(\theta-\sin{2\theta}+\frac{1}{2}(1+\cos4\theta))|_{0}^{\pi} 314(θ−sin2θ+21(1+cos4θ))∣0π= 7 π 7\pi 7π
- 因此,所求质心为 C ( 0 , 7 3 ) C(0,\frac{7}{3}) C(0,37)
空间体的质心
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设占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的密度(体密度)为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)
- 假定 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上连续
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则物体的质心坐标
(6):- x ‾ \overline{x} x= 1 M ∭ Ω x ρ ( x , y , z ) d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}x\rho(x,y,z)\mathrm{d}v M1∭Ωxρ(x,y,z)dv
- y ‾ \overline{y} y= 1 M ∭ Ω y ρ ( x , y , z ) d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}{y\rho(x,y,z)}\mathrm{d}v M1∭Ωyρ(x,y,z)dv
- z ‾ \overline{z} z= 1 M ∭ Ω z ρ ( x , y , z ) d v \frac{1}{M}\iiint_{\Omega}z\rho(x,y,z)\mathrm{d}v M1∭Ωzρ(x,y,z)dv
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其中 M M M= ∭ Ω ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}\rho(x,y,z)\mathrm{d}v ∭Ωρ(x,y,z)dv
(7) -
类似的,若空间体是均匀的,则体密度 ρ \rho ρ是常数,可以提出到积分号前面
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则 M M M= ρ ∭ Ω d v \rho\iiint_{\Omega}\mathrm{d}v ρ∭Ωdv= ρ V \rho{V} ρV
(7-1),其中 V V V= ∭ Ω d v \iiint_{\Omega}\mathrm{d}v ∭Ωdv表示 Ω \Omega Ω的体积,即有 1 M ρ \frac{1}{M}\rho M1ρ= 1 V \frac{1}{V} V1(7-2),从而有(8)- x ‾ \overline{x} x= 1 V ∭ Ω x d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}x\mathrm{d}v V1∭Ωxdv
- y ‾ \overline{y} y= 1 V ∭ Ω y d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}y\mathrm{d}v V1∭Ωydv
- z ‾ \overline{z} z= 1 V ∭ Ω z d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v V1∭Ωzdv
均匀半球的质心
- 整个均匀球的质心容易确定就是球心,现在我们看半球的质心
- 取半球体的对称轴 z z z轴,原点取在球心上,又设半径为 a a a
- 半球体所占空间闭区域 Ω \Omega Ω= { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 + z 2 ⩽ a 2 , z ⩾ 0 } \set{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\leqslant{a^2},z\geqslant{0}} {(x,y,z)∣x2+y2+z2⩽a2,z⩾0}
- 显然,质心在 z z z轴上,故 x ‾ = y ‾ = 0 \overline{x}=\overline{y}=0 x=y=0
- 而由公式(8-3), z ‾ \overline{z} z= 1 V ∭ Ω z d v \frac{1}{V}\iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v V1∭Ωzdv
- 其中 V = 2 3 π a 3 V=\frac{2}{3}\pi{a^3} V=32πa3为半球的体积
- 用球坐标计算: ∭ Ω z d v \iiint_{\Omega}z\mathrm{d}v ∭Ωzdv= ∭ Ω r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ \iiint_{\Omega}r\cos\phi\cdot{r^2\sin\phi}\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta ∭Ωrcosϕ⋅r2sinϕdrdϕdθ= ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π 2 sin ϕ cos ϕ d ϕ ∫ 0 a r 3 d r \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin\phi\cos\phi\mathrm{d}\phi \int_{0}^{a}r^3\mathrm{d}r ∫02πdθ∫02πsinϕcosϕdϕ∫0ar3dr= 2 π ⋅ 1 2 ⋅ a 4 4 2\pi\cdot{\frac{1}{2}}\cdot\frac{a^4}{4} 2π⋅21⋅4a4= π a 4 4 \frac{\pi{a^{4}}}4 4πa4
- 从而 z ‾ \overline{z} z= 3 8 \frac{3}{8} 83
- 则质心为 ( 0 , 0 , 3 8 a ) (0,0,\frac{3}{8}a) (0,0,83a)
转动惯量
平面薄片的转动惯量
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设在平面 x O y xOy xOy上有 n n n个质点,它们分别位于点 P 1 ( x 1 , y 1 ) , ⋯ , P n ( x n , y n ) P_1(x_1,y_1),\cdots,P_n(x_n,y_n) P1(x1,y1),⋯,Pn(xn,yn)处,质量分别为 m 1 , ⋯ , m n m_1,\cdots,m_n m1,⋯,mn
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由力学知识,该质点系 P P P对于 x x x轴和 y y y轴的转动惯量依次为
- I x I_{x} Ix= ∑ i = 1 n m i y i 2 {\sum_{i=1}^{n}m_{i}}y^2_{i} ∑i=1nmiyi2
- I y I_y Iy= ∑ i = 1 n m i x i 2 {\sum_{i=1}^{n}m_{i}}x_{i}^2 ∑i=1nmixi2
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设有一平面薄片,占有坐标面 x O y xOy xOy面上的闭区域 D D D
- 在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的面密度为 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y),假定 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)在 D D D上连续,
- 现在要求该薄片对 x x x轴的转动惯量 I x I_x Ix以及对于 y y y轴的转动惯量 I y I_{y} Iy
计算方法
- 应用元素法
- 在闭区域 D D D上任意取一直径很小的闭区域 d σ \mathrm{d}\sigma dσ(设其面积也记为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ)
- P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)是小闭区域上的一个点,因为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小,且 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)在 D D D上连续,所以薄片中相应于 d σ \mathrm{d}\sigma dσ部分的质量近似等于 μ ( x , y ) d σ \mu(x,y)\mathrm{d}\sigma μ(x,y)dσ,这部分质量可以近似看作集中在点 P P P上,于是有薄片对于 x x x轴以及对于 y y y轴的转动惯量元素
- d I x \mathrm{d}I_{x} dIx= y 2 μ ( x , y ) d σ y^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma y2μ(x,y)dσ
(1-1) - d I y \mathrm{d}I_{y} dIy= x 2 μ ( x , y ) d σ x^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma x2μ(x,y)dσ
(1-2)
- d I x \mathrm{d}I_{x} dIx= y 2 μ ( x , y ) d σ y^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma y2μ(x,y)dσ
- 以这些元素为被积表达式,在闭区域 D D D上积分,便得
- I x I_{x} Ix= ∬ D y 2 μ ( x , y ) d σ \iint_{D}y^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dy2μ(x,y)dσ
(2-1) - I y I_y Iy= ∬ D x 2 μ ( x , y ) d σ \iint_{D}x^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dx2μ(x,y)dσ
(2-2)
- I x I_{x} Ix= ∬ D y 2 μ ( x , y ) d σ \iint_{D}y^2\mu(x,y)\mathrm{d}\sigma ∬Dy2μ(x,y)dσ
空间体的情形
- 设占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,在点 ( x , y , z ) (x,y,z) (x,y,z)处的密度(体密度)为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)
- 假定 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上连续
- 则物体对 x , y , z x,y,z x,y,z轴的转动惯量分别为
(6):- I x I_{x} Ix= ∭ Ω ( y 2 + z 2 ) ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}(y^2+z^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v ∭Ω(y2+z2)ρ(x,y,z)dv
- I y I_{y} Iy= ∭ Ω ( z 2 + x 2 ) ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}(z^2+x^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v ∭Ω(z2+x2)ρ(x,y,z)dv
- I z I_{z} Iz= ∭ Ω ( x 2 + y 2 ) ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}(x^2+y^2)\rho(x,y,z)\mathrm{d}v ∭Ω(x2+y2)ρ(x,y,z)dv
- 其中 M M M= ∭ Ω ρ ( x , y , z ) d v \iiint_{\Omega}\rho(x,y,z)\mathrm{d}v ∭Ωρ(x,y,z)dv
(7) - 类似的,若空间体是均匀的,则体密度 ρ \rho ρ是常数,可以提出到积分号前面
- 公式的应用:以公式(6-1)为例可以看出,计算转动惯量需要
- 建立合适的坐标系
- 被转动的 Ω \Omega Ω以及体密度 ρ \rho ρ,
- 被积函数中的 y 2 + z 2 y^2+z^2 y2+z2则是公式中固定的部分
- 而若 ρ \rho ρ是常数时,提到积分号前,则公式的计算关键就取决于 Ω \Omega Ω的形状
例
- 求半径为 a a a的均匀半圆薄片对于其直径边的转动惯量 I I I
- 设密度为常数 μ \mu μ
- 解
- 取半圆的直径中点为坐标系原点,直径和 x x x轴重合(半圆和 x x x轴交于 ( − a , 0 ) , ( a , 0 ) (-a,0),(a,0) (−a,0),(a,0))
- 则薄片所占闭区域 D = { ( x , y ) ∣ x 2 + y 2 ⩽ a 2 , y ⩾ 0 } D=\set{(x,y)|x^2+y^2\leqslant{a^2},y\geqslant{0}} D={(x,y)∣x2+y2⩽a2,y⩾0}
- 则所求转动惯量即半圆薄片对于 x x x轴的转动惯量 I x I_{x} Ix= ∬ D y 2 μ d σ \iint_{D}y^2\mu\mathrm{d}\sigma ∬Dy2μdσ= μ ∬ D ρ 3 sin 2 θ d ρ d θ \mu\iint_{D}\rho^3\sin^{2}\theta\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\theta μ∬Dρ3sin2θdρdθ= μ ∫ 0 π d θ ∫ 0 a ρ 3 sin 2 θ d ρ \mu\int_{0}^{\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{a}\rho^3\sin^{2}\theta\mathrm{d}\rho μ∫0πdθ∫0aρ3sin2θdρ= 1 4 μ a 4 π 2 \frac{1}{4}\mu{a^4}\frac{\pi}{2} 41μa42π= μ a 4 π 8 \frac{\mu{a^{4}}\pi}{8} 8μa4π
- 若记为半圆薄片的质量 M M M= 1 2 π a 2 μ \frac{1}{2}\pi{a^2}\mu 21πa2μ
- 则 I x I_{x} Ix= 1 4 M a 2 \frac{1}{4}Ma^{2} 41Ma2
- 取半圆的直径中点为坐标系原点,直径和 x x x轴重合(半圆和 x x x轴交于 ( − a , 0 ) , ( a , 0 ) (-a,0),(a,0) (−a,0),(a,0))
例
- 求密度为 ρ \rho ρ的均匀球对于过球心的一条轴 l l l的转动惯量
- 解
- 取球心为坐标原点, x x x轴与 l l l轴重合,
- 又设球的半径为 a a a,则球所占空间闭区域为
- Ω \Omega Ω= { ( x , y , z ) ∣ x 2 + y 2 + z 2 ⩽ a 2 } \set{(x,y,z)|x^2+y^2+z^2\leqslant{a^2}} {(x,y,z)∣x2+y2+z2⩽a2}
- 所求转动惯量即球对于 z z z轴的转动惯量为
- I x I_{x} Ix= ∭ Ω ( y 2 + z 2 ) ρ d v \iiint_{\Omega}(y^2+z^2)\rho\mathrm{d}v ∭Ω(y2+z2)ρdv= ρ ∭ Ω ( y 2 + z 2 ) d v \rho\iiint_{\Omega}(y^2+z^2)\mathrm{d}v ρ∭Ω(y2+z2)dv
- 该积分使用球坐标计算: I x I_{x} Ix= ρ ∭ Ω ( ( r sin ϕ cos θ ) 2 + ( r sin ϕ cos θ ) 2 ) ⋅ r 2 sin ϕ d r d ϕ d θ \rho\iiint_{\Omega}((r\sin\phi\cos\theta)^2+(r\sin\phi\cos\theta)^2)\cdot{r^2\sin\phi} \mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta ρ∭Ω((rsinϕcosθ)2+(rsinϕcosθ)2)⋅r2sinϕdrdϕdθ
- = ρ ∭ Ω r 4 sin 3 ϕ d r d ϕ d θ \rho\iiint_{\Omega} r^4\sin^{3}\phi\mathrm{d}r\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta ρ∭Ωr4sin3ϕdrdϕdθ= ρ ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 π sin 3 ϕ d ϕ ∫ 0 a r 4 d r \rho\int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta\int_{0}^{\pi}\sin^{3}\phi\mathrm{d}\phi\int_{0}^{a}r^{4}\mathrm{d}r ρ∫02πdθ∫0πsin3ϕdϕ∫0ar4dr= 2 5 a 2 M \frac{2}{5}a^2M 52a2M
- 其中 M M M= 4 3 π a 3 ρ \frac{4}{3}\pi{a^3}\rho 34πa3ρ为球的质量
引力(*)
-
这里讨论的是:空间一物体对于物体外一点 P 0 ( x 0 , y 0 , z 0 ) P_{0}(x_0,y_0,z_0) P0(x0,y0,z0)处单位质量的质点的引力
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仍然使用元素法,
- 设占有空间有界闭区域 Ω \Omega Ω,在点 P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)处的密度(体密度)为 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z),并假定 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)在 Ω \Omega Ω上连续;
- 在物体内任意取一直径很小的闭区域 d v \mathrm{d}v dv,其体积也记为 d v \mathrm{d}v dv
- P ( x , y , z ) P(x,y,z) P(x,y,z)是这一小块闭区域上的一个点,因为 d σ \mathrm{d}\sigma dσ的直径很小,且 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)在 D D D上连续,所以这一小块物体的质量 ρ d v \rho\mathrm{d}v ρdv近似看作集中在点 P P P上
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并由两质点间的引力公式,可得元素对应的小块物体对位于 P 0 P_0 P0处的单位质量质点的引力近似为
- d F \mathrm{d}\bold{F} dF= ( d F x , d F y , d F z ) (\mathrm{d}F_{x},\mathrm{d}F_{y},\mathrm{d}F_{z}) (dFx,dFy,dFz)= ( G ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) r 3 d v , G ρ ( x , y , z ) ( y − y 0 ) r 3 d v , G ρ ( x , y , z ) ( z − z 0 ) r 3 d v ) \Large(G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v, G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v, G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v) (Gr3ρ(x,y,z)(x−x0)dv,Gr3ρ(x,y,z)(y−y0)dv,Gr3ρ(x,y,z)(z−z0)dv)
- d F x , d F y , d F z \mathrm{d}F_{x},\mathrm{d}F_{y},\mathrm{d}F_{z} dFx,dFy,dFz为引力元素 d F \mathrm{d}\bold{F} dF在三个坐标轴上的分量
- G G G为引力常数
- 对 d F x , d F y , d F z \mathrm{d}F_{x},\mathrm{d}F_{y},\mathrm{d}F_{z} dFx,dFy,dFz在 Ω \Omega Ω上分别积分,得 F \bold{F} F= ( F x , F y , F z ) (F_{x},F_{y},F_{z}) (Fx,Fy,Fz)= ( ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) r 3 d v , ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( y − y 0 ) r 3 d v , ∭ Ω G ρ ( x , y , z ) ( z − z 0 ) r 3 d v ) \Large(\iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v, \iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v, \iiint_{\Omega}G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v) (∭ΩGr3ρ(x,y,z)(x−x0)dv,∭ΩGr3ρ(x,y,z)(y−y0)dv,∭ΩGr3ρ(x,y,z)(z−z0)dv)
- d F \mathrm{d}\bold{F} dF= ( d F x , d F y , d F z ) (\mathrm{d}F_{x},\mathrm{d}F_{y},\mathrm{d}F_{z}) (dFx,dFy,dFz)= ( G ρ ( x , y , z ) ( x − x 0 ) r 3 d v , G ρ ( x , y , z ) ( y − y 0 ) r 3 d v , G ρ ( x , y , z ) ( z − z 0 ) r 3 d v ) \Large(G\frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{r^3}\mathrm{d}v, G\frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{r^3}\mathrm{d}v, G\frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{r^3}\mathrm{d}v) (Gr3ρ(x,y,z)(x−x0)dv,Gr3ρ(x,y,z)(y−y0)dv,Gr3ρ(x,y,z)(z−z0)dv)
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对于薄片情形,将 ρ ( x , y , z ) \rho(x,y,z) ρ(x,y,z)换为 μ ( x , y ) \mu(x,y) μ(x,y)(体密度换为面密度),三重积分化为二重积分即可得到相应公式