正规子群和商群

1.5.2如果是否一定是的正规子群？
1.5.4(1)设是的子群且则这里
(2)设是群同态，试证这里
1.5.6设是群的任意一个元，若的阶和互素，则
1.5.8用表示的全部内自同构组成的集合，试证：且
1.5.9试证非可换群的自同构群不是循环群
特别地，若群只有素数个自同构，则是可换群
1.5.10用表示群的换位子群，即由所有换位子生成的的子群；记则均是的正规子群
1.5.11设则
1.5.12群的非平凡子群称为的极小子群，如果不存在子群使得试证
(2)有理数加法群既没有极小子群也没有极大子群
1.5.13设是有限群的自同构，令，试证：
(1)若则是群
(2)若则一定有指数为2的正规子群

参考文献

冯克勤, 章璞. 近世代数三百题[M]. 高等教育出版社, 2010.