正规子群和商群

1.5.2如果是否一定是的正规子群?
1.5.4(1)设是的子群且则这里
(2)设是群同态,试证这里
1.5.6设是群的任意一个元,若的阶和互素,则
1.5.8用表示的全部内自同构组成的集合,试证:且
1.5.9试证非可换群的自同构群不是循环群
特别地,若群只有素数个自同构,则是可换群
1.5.10用表示群的换位子群,即由所有换位子生成的的子群;记则均是的正规子群
1.5.11设则
1.5.12群的非平凡子群称为的极小子群,如果不存在子群使得试证
(2)有理数加法群既没有极小子群也没有极大子群
1.5.13设是有限群的自同构,令,试证:
(1)若则是群
(2)若则一定有指数为2的正规子群

参考文献

冯克勤, 章璞. 近世代数三百题[M]. 高等教育出版社, 2010.

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