【数据结构】拆分详解 - 二叉树的链式存储结构

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一、前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。由于现在大家对二叉树结构掌握还不够深入，为了降低大家学习成本，此处手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，等二叉树结构了解的差不多时，我们反过头再来研究二叉树真正的创建方式。
注意：下述代码并不是创建二叉树的方式，真正创建二叉树方式文章末尾处会进行讲解。

typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType _data;
	struct BinaryTreeNode* _left;
	struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;

BTNode* CreatBinaryTree()
{
	BTNode* node1 = BuyNode(1);
	BTNode* node2 = BuyNode(2);
	BTNode* node3 = BuyNode(3);
	BTNode * node4 = BuyNode(4);
	BTNode* node5 = BuyNode(5);
	BTNode* node6 = BuyNode(6);

	node1->_left = node2;
	node1->_right = node4;
	node2->_left = node3;
	node4->_left = node5;
	node4->_right = node6;
	
	return node1;
}

二、二叉树的遍历

  1. 前序、中序以及后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓二叉树遍历(Traversal)是按照某种特定的规则，依次对二叉树中的所有节点进行访问。
按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历，区别为访问根的顺序不同。

1. 前序遍历 ：访问顺序为根，左子树，右子树
2. 中序遍历：访问顺序为左子树，根，右子树
3. 后序遍历：访问顺序为左子树，右子树，根

   1.1 前序遍历

void BinaryTreePrevOrder(BTNode* root)
{
	//为空
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return ;
	}
	//不为空，打印节点值，继续找左子树，找完后找右子树
	printf("%d ", root->data);

	BinaryTreePrevOrder(root->left);
	BinaryTreePrevOrder(root->right);
}

   1.2 中序遍历

void BinaryTreeInOrder(BTNode* root)
{
	//为空
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}
	//左
	BinaryTreeInOrder(root->left);
	//根
	printf("%d ", root->data);
	//右
	BinaryTreeInOrder(root->right);
}

   1.3 后序遍历

void BinaryTreePostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("N ");
		return;
	}

	BinaryTreePostOrder(root->left);

	BinaryTreePostOrder(root->right);

	printf("%d ", root->data);
}

  2. 层序遍历

除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

三、常见接口实现

  0. 递归中的分治思想

在下面的接口实现中我们使用递归实现分治思想（将大问题拆分成多个子问题处理），我们要注意如何拆分子问题 和 表达递归的结束条件。

• 递归：分为递推和回归。我们可以画递推展开图，假想递推到底的情况，思考分析回归条件，可代入回归检验是否符合。
• 分治：将问题抽象分为多个子问题，分别解决
• 用递归实现分治 ：一路递推到底，处理完第一个子问题，回归，在回归过程中处理之前未处理的子问题。（子问题可能会被处理多次，但每个子问题的处理次数总和一定是相同的，只是处理先后的不同）本质是将问题的核心基础步骤抽象出来，使用递归方式重复处理，最终达成目的。

  1. 查找与节点个数

   1.1 节点个数

子问题分治：节点个数 = 左子树节点个数 + 右子树节点个数
递归（结束）返回条件：

1. 空 返回 0
2. 不为空 返回1

int BinaryTreeSize(BTNode* root)
{
	//如果根为空就返回0，否则返回左子树与右子树节点数和
	return root == NULL ? 0 
		: BinaryTreeSize(root->left) 
		+ BinaryTreeSize(root->right) 
		+ 1;
}

   1.2 叶子节点个数

子问题分治：节点个数 = 左子树叶子节点个数 + 右子树叶子节点个数
递归（结束）返回条件：

1. 空 返回 0
2. 叶子 返回1

int BinaryTreeLeafSize(BTNode* root)
{
	//单独判断空树
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}
	//如果左子树和右子树都不为空，说明为叶子
	if (!root->left && !root->right)
	{
		return 1;
	}

	return BinaryTreeLeafSize(root->left) 
		+ BinaryTreeLeafSize(root->right);
}

   1.3 第k层节点个数

子问题分治：第k层节点个数 = 第k-1层的左子树节点个数 + 第k-1层的右子树节点个数
递归（结束）返回条件：

1. 空 返回 0
2. 不为空且为k层 返回1

int BinaryTreeLevelKSize(BTNode* root, int k)
{
	assert(k> 0);
	if (root == NULL)
		return 0;
	//不为空且为k层，返回1
	if (k == 1)
		return 1;
	//k == 1 说明为k层，不为则继续向下递推
	return BinaryTreeLevelKSize(root->left, k-1) 
		+ BinaryTreeLevelKSize(root->right, k-1);
}

   1.4 查找值为x的节点

子问题分治：查找 = 查找左子树 + 查找右子树
递归（结束）返回条件：

1. 空 返回 0
2. 找到 返回节点地址

BTNode* BinaryTreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
		return NULL;

	if (root->data == x)
		return root;
	//使用指针变量存储地址，若不为空说明找到，不需要进行其他操作，使其一路回归
	BTNode* ret1 = BinaryTreeFind(root->left, x);
	if (ret1)
		return ret1;

	BTNode* ret2 = BinaryTreeFind(root->right, x);
	if (ret2)
		return ret2;

	return NULL;
}

  2. 二叉树的创建与销毁

   2.1 创建

子问题分治：创建 = 创建左子树 + 创建右子树
递归（结束）返回条件：

1. 空（‘#’） 返回NULL
2. 非空 创建节点并初始化

// 通过前序遍历的数组"ABD##E#H##CF##G##"构建二叉树
// a为数组，pi为 外部中标识数组下标变量的 指针
BTNode* BinaryTreeCreate(BTDataType* a, int n, int* pi)
{
	if (a[*pi] == '#')
	{
		*pi++; //下标后移
		return NULL;
	}

	BTNode* root = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (root == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}

	root->data = a[*pi];
	root->left = BinaryTreeCreate(a, n, ++*pi);
	root->right = BinaryTreeCreate(a, n, ++ * pi);
}

   2.2 销毁

void BinaryTreeDestory(BTNode** root)
{
	if (*root == NULL)
	{
		return;
	}

	BinaryTreeDestory((*root)->left);
	free(*root);

	BinaryTreeDestory((*root)->right);
	free(*root);

	free(*root);
	*root == NULL;
}

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总结

知识框架可看文章目录。
本文讲解了二叉树的链式存储结构的相关知识，递归和分治思想十分抽象，需要读者自行画递归展开图理解，多练习，培养出自己的抽象能力。
文章中有什么不对的丶可改正的丶可优化的地方，欢迎各位来评论区指点交流，博主看到后会一一回复。