数据结构初阶——链式二叉树

目录

树概念及结构

树的概念

树的表示

二叉树概念及结构

概念

特殊二叉树

二叉树的性质

二叉树链式结构及实现

二叉树的简单创建

二叉树的前序遍历 

二叉树中序遍历与二叉树后序遍历

求二叉树节点个数

求二叉树叶子节点的个数 

求二叉树的高度 

求二叉树第k层节点个数

二叉树查找值为x的节点

二叉树的层序遍历

判断二叉树是否是完全二叉树

单独取出树的每一层数值

树概念及结构

树的概念

树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。

  • 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点
  • 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继
  • 因此,树是递归定义的。

注意:在树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构

数据结构初阶——链式二叉树_第1张图片

一些重要的概念:

节点的度:一个节点含有子树的个数;如上图A的度为6;

叶节点或终端节点:度为零的节点;

非终端节点或分支节点:度不为零的节点;

双亲结点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;

孩子节点或子节点:一个节点含有子树的根节点称为该节点的子节点;

兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;

树的度:一棵树中,最大的节点的度;

节点的层次:从根开始定义,更为第一层,根的子节点为第二层,以此类推;

树的深度:树节点的最大层次;

堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;

节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;

子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙;;

森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;

树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了,要存储表示起来就比较麻烦了,既然保存值域,也要保存结点和结点之间的关系,实际中树有很多种表示方式如:双亲表示法,孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点
struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
DataType _data; // 结点中的数据域
};

数据结构初阶——链式二叉树_第2张图片

二叉树概念及结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成数据结构初阶——链式二叉树_第3张图片

从上图中可以看出:

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树

特殊二叉树

1. 满二叉树:一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。也就是说,如果一个二叉树的层数为K,且结点总数是 ,则它就是满二叉树。
2. 完全二叉树:完全二叉树是效率很高的数据结构,完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的,有n个结点的二叉树,当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1,则一棵非空二叉树的第i层上最多有 个结点.
2. 若规定根节点的层数为1,则深度为h的二叉树的最大结点数是 .
3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 , 度为2的分支结点个数为 ,则有 = +1
4. 若规定根节点的层数为1,具有n个结点的满二叉树的深度,h= . (ps: 是log以2为底,n+1为对数)
5. 对于具有n个结点的完全二叉树,如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号,则对于序号为i的结点有:
        1. 若i>0,i位置节点的双亲序号:(i-1)/2;i=0,i为根节点编号,无双亲节点
        2. 若2i+1=n否则无左孩子
        3. 若2i+2=n否则无右孩子

数据结构初阶——链式二叉树_第4张图片

二叉树链式结构及实现

在这里,我们简单地讲述二叉树的一些基本的操作,例如遍历,节点相关等操作。

二叉树的简单创建

这里的代码是二叉树简单地创建,不是真正的创建方式,为了更好地测试二叉树相关的代码。

//二叉树的节点结构
typedef int BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode
{
	BTDataType _data;
	struct BinaryTreeNode* _left;
	struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;

二叉树的节点生成
BTNode* ByTreeNode(BTDataType x)
{
	BTNode* newnode = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (newnode == NULL)
	{
		perror("malloc failed");
		exit(-1);
	}
	newnode->_left = NULL;
	newnode->_right = NULL;
	newnode->_data = x;
	return newnode;
}


//生成一颗树
BTNode* BinaryTreeCreate()
{
	BTNode* n1 = ByTreeNode(1);
	BTNode* n2 = ByTreeNode(2);
	BTNode* n3 = ByTreeNode(3);
	BTNode* n4 = ByTreeNode(4);
	BTNode* n5 = ByTreeNode(5);
	BTNode* n6 = ByTreeNode(6);
	//BTNode* n7 = ByTreeNode(7);

	n1->_left = n2;
	n1->_right = n4;
	n2->_left = n3;
	n4->_left = n5;
	n4->_right = n6;
	//n2->_right = n7;

	return n1;
}

数据结构初阶——链式二叉树_第5张图片

最后生成的就是上图中的树。

二叉树的前序遍历 

前序遍历的顺序是:根、左子树、右子树。

// 二叉树前序遍历 
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	//根节点
	printf("%d ", root->_data);
	//递归遍历左节点
	PrevOrder(root->_left);
	//递归遍历右节点
	PrevOrder(root->_right);
}

前序遍历的二叉树的递归展开图:数据结构初阶——链式二叉树_第6张图片

从上图中我们可以看出,以左子树为例子,从根节点即“1”开始,然后递归进入左子树输出“2”,再递归进入左子树输出“4”,再递归进入左子树,节点等于NULL返回上一层函数帧栈,递归进入右子树,节点为NULL再次返回上一打印值为4的函数帧栈,至此“4”位置的函数全部走完,返回上一层的函数帧栈。递归即进入其右子树。然后依次重复之前的过程直至返回初始的函数帧栈处。我们就可以得到打印出来的前序遍历:1 2 3 NULL NULL 7 NULL NULL 4 5 NULL NULL 6 NULL NULL。

二叉树中序遍历与二叉树后序遍历

这两种遍历方式与前序相类似,区别就是中序遍历的顺序是:左子树、根、右子树;而后序遍历的顺序是:左子树、根、右子树。只需要将打印根节点的指令放在不同的位置,即可获得不同的遍历结果。

// 二叉树中序遍历
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	//递归遍历左节点
	InOrder(root->_left);

	//根节点
	printf("%d ", root->_data);

	//递归遍历右节点
	InOrder(root->_right);
}

// 二叉树后序遍历
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}

	//递归遍历左节点
	PostOrder(root->_left);

	//递归遍历右节点
	PostOrder(root->_right);

	//根节点
	printf("%d ", root->_data);
}

中序遍历结果:NULL 3 NULL 2 NULL 7 NULL 1 NULL 5 NULL 4 NULL 6 NULL

后续遍历结果:NULL NULL 3 NULL NULL 7 2 NULL NULL 5 NULL NULL 6 4 1

求二叉树节点个数

对于这个问题我们同样可以使用递归的方式进行处理:我们需要求解一棵二叉树的节点个数,将这个问题进行分解,以上述的例子来看,需要求跟节点“1”的节点个数,就是要求解其左子树和右子树的节点个数;要求其左子树的节点,就要以左子树的节点“2”为根节点,求其左子树和右子树的节点个数;直至节点为NULL。

// 求二叉树节点个数
int TreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	return TreeSize(root->_left) + TreeSize(root->_right) + 1;
}

同样,使用上面的那一棵树,以左子树为例子进行递归展开图的演示:数据结构初阶——链式二叉树_第7张图片当遇到NULL结点时返回值“0”,当左右子树都为NULL时返回,左子树的节点个数+右节点的子树个数+1(自己本身的节点)。 

求二叉树叶子节点的个数 

这个问题与上述的求节点总个数的问题相类似,当 一个节点的左节点与右节点都为NULL时返回“1”

// 二叉树叶子节点个数
int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	if (root->_left == NULL && root->_right == NULL)
	{
		return 1;
	}
	
	return TreeLeafSize(root->_left) + TreeLeafSize(root->_right);
}

下面是这个问题的左子树递归展开图: 

数据结构初阶——链式二叉树_第8张图片

求二叉树的高度 

//求二叉树的高度
int TreeHeight(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		return 0;
	}

	int LeftHeight = TreeHeight(root->_left);
	int RightHeight = TreeHeight(root->_right);

	return LeftHeight > RightHeight ? LeftHeight + 1 : RightHeight + 1;
}

在这段程序中我们需要注意的就是,在这里函数帧栈的返回值不能使用如下的形式:    

return TreeHeight(root->_left) > TreeHeight(root->_right) ? TreeHeight(root->_left) + 1 : TreeHeight(root->_right) + 1;

这样的话,当已经递归求解出了左子树的高度,但是数据没有进行保存,在右面需要再一次的进行同样的左子树高度的求解,会造成递归次数过多,导致栈的溢出,因此我们需要及时将子树的高度这个数据进行保存。

递归展开图:

数据结构初阶——链式二叉树_第9张图片

求二叉树第k层节点个数

在求解这个问题的时候同样我们也必须使用递归的思想:要求解第k层的节点个数(相对于第一层),就是求解第k-1层的节点个数(相对于第二层),直到k等于1。分别求解左子树和右子树。

左子树的递归展开图如下: 

数据结构初阶——链式二叉树_第10张图片

二叉树查找值为x的节点

// 二叉树查找值为x的节点
BTNode* TreeFind(BTNode* root, BTDataType x)
{
	if (root == NULL)
	{
		return NULL;
	}
	if (root->_data == x)
	{
		return root;
	}
	BTNode* ret1 = TreeFind(root->_left, x);
	if (ret1 != NULL)
	{
		return ret1;
	}
	BTNode* ret2 = TreeFind(root->_right, x);
	if (ret2 != NULL)
	{
		return ret2;
	}
	return NULL;
}

查找节点的问题与上面的一些问题都类似,及使用递归的方法来进行处理。

二叉树的层序遍历

层序遍历需要我们使用队列来进行处理。

数据结构初阶——链式二叉树_第11张图片

将第一层如队列,当第一层出队列的时候,将其左子树与右子树入队列;再将“2”出队列,同时带入其左子树与右子树。重复上述过程,直至队列为空。

// 层序遍历
void TreeLevelOrder(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root != NULL)
	{
		QueuePush(&q, root);
	}
	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* front = QueueFront(&q);

		printf("%d ", front->_data);
		
		QueuePop(&q);

		if (front->_left != NULL)
		{
			QueuePush(&q, front->_left);
		}
		if (front->_right != NULL)
		{
			QueuePush(&q, front->_right);
		}
	}
	printf("\n");
	QueueDestroy(&q);
}

判断二叉树是否是完全二叉树

我们可以利用层序遍历的方法来判断是否为完全二叉树。

完全二叉树的特点:最后一层要是满的或者从左至右依次右节点,不能如下图一样。下图就不是完全二叉树。

数据结构初阶——链式二叉树_第12张图片​​​​​​​

// 判断二叉树是否是完全二叉树
bool TreeComplete(BTNode* root)
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		if (QueueFront(&q) == NULL)
		{
			break;
		}
		BTNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		QueuePush(&q, front->_left);
		QueuePush(&q, front->_right);
	}

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		BTNode* tmp = QueueFront(&q);
		if (tmp != NULL)
		{
			QueueDestroy(&q);
			return false;
		}
		QueuePop(&q);
	}

	QueueDestroy(&q);

	return true;
}

单独取出树的每一层数值

//单独取出树的每一层数值
void TreeLevelNum(BTNode* root)
{
	int TreeLevel = 0;
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	QueuePush(&q, root);
	TreeLevel = 1;

	while (!QueueEmpty(&q))
	{
		while (TreeLevel--)
		{
			BTNode* front = QueueFront(&q);
			printf("%d ", front->_data);
			QueuePop(&q);
			if (front->_left != NULL)
			{
				QueuePush(&q, front->_left);
			}

			if (front->_right != NULL)
			{
				QueuePush(&q, front->_right);
			}
		}
		printf("\n");

		//上层出完了下一层进队列
		TreeLevel = QueueSize(&q);
	}
	QueueDestroy(&q);
}

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