知识点索引：二阶常系数线性微分方程

频次： 1
出处： 2009-10、

知识树位置

• 微分方程
  • 高阶线性微分方程
    • 二阶线性微分方程
      • 二阶常系数线性微分方程
        • 二阶常系数齐次线性微分方程
        • 二阶常系数非齐次线性微分方程

知识点内容

二阶线性微分方程

定义：

二阶线性微分方程的一般形式：
$$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$$
其中 $p(x)$，$q(x)$，$f(x)$ 连续

分类：

• 二阶线性齐次方程
  $$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$$
• 二阶线性非齐次方程
  $$y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=f(x)$$

二阶常系数线性微分方程

定义：

$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$
其中 $p$，$q$ 为常数

分类：

• 二阶常系数齐次线性微分方程
• 二阶常系数非齐次线性微分方程

二阶常系数 齐次 线性微分方程

定义：

一般形式：
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=0$$

解：

特征方程
$${\mathbf{r}}^2+\mathbf{p}\mathbf{r}+\mathbf{q}=0$$
设 $r_1$，$r_2$ 为该方程的两个根，则

1. 若$r_1\ne r_2$（两个不相等的实特征根），则通解为：
   $$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}$$
2. 若$r_1=r_2$（二重实特征根），则通解为：
   $$y=(C_1+C_{2}x)e^{r_{1}x}$$
3. 若$r_1=\alpha +i\beta$，$r_2=\alpha -i\beta$（一对共轭复根），则通解为：
   $$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$$

二阶常系数 非齐次 线性微分方程

定义：

一般形式：
$$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$

解：

先求非齐次方程的特解 $y^{\ast }$ ，再将 $y^{\ast }$ 代入原非齐次方程求解。

类型一：
若 $\mathbf{f}(\mathbf{x})={\mathbf{P}}_{\mathbf{n}}(\mathbf{x}){\mathbf{e}}^{\lambda \mathbf{x}}$，其中 $P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式，则特解设为：

$$y^{\ast }=x^k{Q}_n(x)e^{\lambda x}$$

其中 $Q_n(x)$ 是含待定系数的、与 $P_n(x)$ 同次的多项式， $k$ 是特征方程含根 $\lambda$ 的重复次数。

类型二：
若 $\mathbf{f}(\mathbf{x})={\mathbf{e}}^{\lambda \mathbf{x}}[{\mathbf{P}}_{\mathbf{l}}^{(1)}(\mathbf{x})\cos \beta \mathbf{x}+{\mathbf{P}}_{\mathbf{n}}^{(2)}(\mathbf{x})\sin \beta \mathbf{x}]$，其中 $P_l^{(1)}(x)$，$P_n^{(2)}(x)$ 分别为 $x$ 的 $l$ 次、$n$ 次多项式，则特解设为：

$$y^{\ast }=x^k{e}^{\alpha x}[Q_m^{(1)}(x)\cos \beta x+Q_m^{(2)}(x)\sin \beta x]$$

其中 $Q_m^{(1)}(x)$，$Q_m^{(2)}(x)$ 是两个 $m$ 次多项式，$m=max\{l,n\}$.
将非齐次方程，先当作齐次方程解，即假定 $f(x)=0$，则：

1. 当 $\alpha +i\beta$ 不是齐次方程的特征根时，$k=0$，$\alpha =0$
2. 当 $\alpha +i\beta$ 是齐次方程的特征根时，$k=1$

问题集

【2009-10】
若二阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的通解为 $y=(C_1+C_{2}x)e^x$，则非齐次微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=x$ 满足条件 $y(0)=2$，$y^{\prime }(0)=0$ 的解为 $y=?$

解： 非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=x$ 属于 $\mathbf{f}(\mathbf{x})={\mathbf{P}}_{\mathbf{n}}(\mathbf{x}){\mathbf{e}}^{\lambda \mathbf{x}}$ 类型：$n=1$，

$$y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=(\alpha x+\beta )e^{\lambda x}$$

其中 $\alpha =1$、$\beta =0$、$\lambda =0$.
因此，设特解为
$$y^{\ast }=x^k(\alpha x+\beta )$$

因为齐次方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的通解为 $y=(C_1+C_{2}x)e^x$，其特征根为 $r_1=r_2=1\ne \lambda$，
所以，$k=0$，
$$y^{\ast }=(\alpha x+\beta )$$

将特征根代入到齐次方程 $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ 的特征方程 $r^2+ar+b=0$，得

$$a=-2，b=1$$

将 $a$ 和 $b$ 的值代入非齐次方程得
$$y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=x$$

将特解 $y^{\ast }=(\alpha x+\beta )$ 代入非齐次方程 $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=x$ 得

$$(\alpha x+\beta {)}^{\prime \prime }-2(\alpha x+\beta {)}^{\prime }+(\alpha x+\beta )=x$$

求解得
$$-2\alpha +\alpha x+\beta =x$$

因此，
$$\alpha =1，\beta =2⟹y^{\ast }=x+2$$

所以非齐次微分方程的通解为
$$y=(C_1+C_{2}x)e^x+x+2$$

代入 $y(0)=2$ 得，
$$\begin{gathered} (C_1+C_2\cdot 0)e^0+0+2=2 \\ {C}_1=0 \end{gathered}$$

代入 $y^{\prime }(0)=0$ 得，
$$\begin{gathered} C_2+(C_1+C_{2}x)e^x+1=0{|}_{x=0} \\ {C}_2+(C_1+C_2\cdot 0)e^0+1=0 \\ {C}_2+C_1+1=0 \end{gathered}$$

由 $C_1=0$，得 $C_2=-1$
所以解为
$$y=-x{e}^x+x+2$$