Richard888888888
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二阶常系数非齐次线性方程

f(x)=P_{n}e^{\alpha x} ,p_{n}(x)是一个n次多项式。

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+p\frac{dy}{dx}+qy=p_{n}e^{\alpha x}   （1）

设 \widetilde{y}=Q(x)e^{\alpha x}是(1)的特解。

Q(x)是一个待定多项式

求\widetilde{y}的一阶导数 (求导：一项不变，二项求导+二项不变，一项求导)

\frac{d\widetilde{y}}{dx}=\frac{dQ}{dx}e^{\alpha x}+Qe^{\alpha x}\alpha=(\frac{dQ}{dx}+\alpha Q)e^{\alpha x}

求\widetilde{y}的二阶导数

\frac{d^{2}\widetilde{y}}{dx^{2}}=(\frac{d^{2}Q}{dx^{2}}+\alpha \frac{dQ}{dx})e^{\alpha x}+(\frac{dQ}{dx}+dQ)e^{\alpha x}\alpha=(\frac{d^{2}Q}{dx^{2}}+2\alpha \frac{dQ}{dx}+\alpha ^{2}Q)e^{\alpha x}

将其代入方程一

(\frac{d^{2}Q}{dx^{2}}+2\alpha \frac{dQ}{dx}+\alpha ^{2}Q)e^{\alpha x}+p(\frac{dQ}{dx}+\alpha Q)e^{\alpha x}+qQe^{\alpha x}=P_{n}e^{\alpha x}

e^{\alpha x}不可能是零

\frac{d^{2}Q}{dx^{2}}+(2\alpha +p)\frac{dQ}{dx}+(\alpha ^{2}+px+q)Q=p_{n}(x)    公式(2)

第一种情况：

\alpha ^{2}+px+q\neq 0  即\alpha不是特征方程的根

这时Q(x)是n次多项式

设Q(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+.....+a_{n-1}x+a_{n}=Q_{n}(x)

所以 \widetilde{y}=Q_{n}(x)e^{\alpha x}

第二种情况  

\alpha ^{2}+px+q= 0，但2\alpha +p\neq 0，即\alpha是特征方程的单根。

方程的单根  取Q(x)=xQ_{n}(x)     (只要求一个特解即可)

这时\widetilde{y}=xQ_{n}(x)e^{\alpha x}

第三种情况

\alpha ^{2}+px+q= 0，2\alpha +p=0，即\alpha是特征方程的二重根。

取Q(x)=x^{2}Q_{n}(x)

\widetilde{y}=x^{2}Q_{n}(x)e^{\alpha x}

例 1

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5\frac{dy}{dx}+6y=e^{3 x}

解，求特征根

r^{2}+5r+6=0

r_{1}=-2,r_{2}=-3

\alpha =3不是特征方程的根

所以Q_{n}是常数

即\widetilde{y}=ae^{3x}

例 二

\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+5\frac{dy}{dx}+6y=3xe^{-2 x}

\alpha=-2是特征方程的单根 

\widetilde{y}=x(ax+b)e^{-2 x}

 

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