详谈时间复杂度

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一、什么是时间复杂度

简单来说，时间复杂度描述的一个算法的运行时间，它其实是一个函数。通常会估算算法的操作单元数量f(n)代表程序消耗的时间，默认CPU的每个单元消耗时间相同。算法的操作单元数量和算法的执行时间增长率是相同的，称作算法的渐进时间复杂度，也就是O(f(n))。

二、什么是 ‘O’

其实O就是表示的是最坏情况下算法的运行时间，也就是算法的上界。

以插入排序和快速排序为例，插入排序很明显最坏的情况就是每次插入都要

最多次数比较所以最坏情况就是n方。

而快速排序最坏情况也是n方，但是业内都普遍说明的是O(nlogn)，所以在这里所说的就是一般情况。

三、时间复杂度的一个基本排序

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) 

但是要注意当常数非常大时，常数也不得不进入考虑因素了。在一般情况下，我们都会对复杂的表达式进行化简，首先去掉系数，然后再保留最高项。

例：

O(5 * n^3 + 10 * n + 100)

可以化简为

O(n^3)

四、判断时间复杂度的例子

题目：找出n个字符串中相同的两个字符串（假设这里只有两个相同的字符串）。

方法1.暴力法

如果用暴力算法的话，除了n^2的遍历次数以外还要考虑字符串的比对，此题不比整型的比较，还要遍历一遍m（字符串的长度），所以时间复杂度为O(m * n * n)。

方法2.先排序

先对这n个字符串进行字典序排序（首字符），排完以后就是有序的n个字符串，然后相同的字符串就挨在一起，再遍历一遍n个字符串就可以了。

快速排序的时间复杂度是O(nlogn)，同样需要考虑有m个字符串的长度，所以为O(m * n *logn)，加上最后再遍历一遍，遍历的时候还要比较字符串。所以时间复杂度为O(m* n * logn + m *n)。化简以后就是O(m * n * logn)，和暴力算法比较的话，还是方法二时间复杂度更低，所以先排序再遍历一遍的方式更快。当然这是分析的过程，如果考研题目的时间复杂度有具体的方法。分为一层循环两层循环多层循环等等，每种题型有特定的方法。

五、不要看到递归就觉得是O(logn)

例：求x的n次方

方法1.比较容易的思路 ：

int function1(int x , int n)
{
int result = 1;//任何数的0次方都是1
for(int i =0; i < n; i++)
{
reult - result * x;
}
return result;
}

此时不难看出这个方法的时间复杂度是O(n)

如何考虑使用递归

方法2.简单递归

int function2(int x, int n)
{
if(n == 0) {return 1;}
return function2(x,n-1) * x;
}

递归算法的时间复杂度本质上是要看: 递归的次数 * 每次递归中的操作次数。并不是直接无脑O(logn)。每次n-1，递归了n次时间复杂度是O(n)，每次进行了一个乘法操作，乘法操作的时间复杂度一个常数项O(1)，所以这份代码的时间复杂度是 n × 1 = O(n)。

方法3.变换递归

int function3(int x, int n) {
    if (n == 0) return 1;
    if (n == 1) return x;

    if (n % 2 == 1) {
        return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2)*x;
    }
    return function3(x, n / 2) * function3(x, n / 2);
}

这棵树上每一个节点就代表着一次递归并进行了一次相乘操作，所以进行了多少次递归的话，就是看这棵树上有多少个节点。但是如此分析看来，时间复杂度还是O(n)。

方法4.logn递归

int function4(int x ,int n)
{
if(x = 0) {reutrn 0;}
if(x = 1) {return x;}
int t = function4(x,n/2);//把这个递归的操作提取出来，减少递归次数
if((n % 2) == 1) {return t*t*x}
return t*t;
}

可以看到这里每次只用一个递归调动，而且每次都是n/2，所以，这个递归算法的时间复杂度才是真正的 O(logn)。