分类数据的分析-卡方检验运用
概念
分类数据
观测值只能被分为几个类别中的某一类，如某个公民的国籍，也称定性数据。
多项试验
当分类数据只涉及到两个响应结果（是或不是，成功或失败等等），就是一个二项分布。如果分类数据涉及到两个以上的响应结果，则是一个多项试验。
多项试验的特点：
1. 这种试验有n个同质的试验构成（进行了样本为n次试验）
2.每次试验都有k种可能都结果，这些结果被称为类
3.对于每次试验，这k中结果发生都概率用p1，p2，...，pk表示，并且在每次试验中都相同，其中p1+p2+...+pk=1
4.每次试验相互独立
5.感兴趣的随机变量是格子计数（cell counts）：n1，n2，...，nk，即落入k个类中每一类的观测值数目。
分类概率的检验
单向表
只有一个变量被分类，试验的结果可以汇总在一个单向表（one-way table）内
举例：
一家大型连锁超市想根据消费者在店内购买的面包的品牌，来了解消费者偏好。假设这家超市销售三个品牌的面包——两个市场上的大品牌A和B，以及这家连锁店自由品牌。为进行这次调查，随机抽取来150个消费者作为观测对象，将每中品牌的皮娜好数量记录下来，如下表：
消费者面包品牌偏好调查的结果
| 品牌A |
品牌B |
自由品牌 |
| 61 |
53 |
36 |
试分析消费者对各个品牌对偏好比例是否有差异。
分析：
首先，这个试验符合多项试验对条件。我们将p1，p2，p3分别表示为消费者偏好品牌A，B和自由品牌对比例，这个比例的真实数值未知。
为了判断消费者是否对这些品牌存在特殊偏好，我们将原假设确定为消费者对面包品牌存在相同对偏好（即p1=p2=p3=1/3），备选假设是消费者至少对一个品牌对偏好较大（即p1，p2，p3至少有一个超过1/3）。
1. 因此我们的假设是：
H0：p1=p2=p3=1/3
Ha：至少存在一个概率大于1/3
2. 计算统计量卡方
如果H0为真，则各面包品牌消费者人数E1=E2=E3=n*p1=50人，计数卡方统计量χ2：
3. 做出判断
当H0为真时，此问题的χ2近似符合卡方分布，对这个简单对分类，自由度为3-1=2，取α=0.05, 则χ2(α=0.05)=5.99，拒绝域为χ2>χ2(α=0.05)
由于χ2=6.52>5.99，因此拒绝原假设，即在显著性水平α=0.05下，我们有理由相信，消费者总体对三个品牌中至少一个存在较大对偏好
单向表卡方检验方法
单向表卡方检验需要满足对条件
1.进行了一次多项试验
2.样本量n足够大，要求每个类都要满足期望计数Ei大于等于5
双向（列联）表
有两个变量被分类，试验的结果可以汇总在一个双向表（two-way table）内。
举例
研究人员调查观众都性别和品牌意识之间都关系，结果如下表：
could Identify Product为能够识别品牌产品，试分析品牌意识都男女观众是否有现在差异
1. 原假设和备选假设
H0：男女对品牌识别没有差别
Ha：男女对品牌识别有差别
2. 计算统计量卡方
为了表示方便，表10.3的观察频数和概率分别为n11，n12，n13，n14，p11，p12，p13，p14，
如下图：
其中pr1，pr2，pc1，pc2称为行和列的边际概率（marginal probability）
先计算各单元格的频次的期望，假设H0为真（即男女没有差别），则
E11=n*p11=n*pr1*pc1（样本总数*识别出品牌的观众的概率*男生占总人群的概率）
由于真实概率未知，用（R1/n）估计pr1，（C1/n）估计pc1，则
E11=R1*C1/n=136X145/300=65.73
同理，可以计算
E12=R1*C2/n=70.27，E21=R2*C1/n=79.27，E22=R2*C2/n=84.73
计算卡方值为：
3. 做出判断
在一个双向列联表中检验独立假设时，自由度为（r-1）*（c-1）=（2-1）X（2-1）=1，取α=0.05, 则χ2(α=0.05)=3.814，拒绝域为χ2>χ2(α=0.05)
由于χ2=46。14>χ2(α=0.05)=3.814，因此拒绝原假设，即男女在识别品牌上有差异。
两个变量的依赖关系在将观测值转化为比例后看得更清楚，在这个例子中，选择观众的性别作为基础变量，然后将第二各变量（这里是观众的品牌意识）的每个水平的响应值表示为基础变量分类汇总的百分比，如男性识别品牌的比例为95/145=65.5%。如果观众的性别和品牌意识是独立的，则表中每个单元格的百分比应该近似等于行百分比。此例中，男女百分比明显有差异：
双向表卡方检验方法
双向表卡方检验需要满足对条件
1.n各观测到的计数是从总体中舟曲的随机样本，我们可以将此视为一个具有rXc中可行结果的多项试验
2.样本量n足够大，要求每个单元格都要满足期望计数Eij大于等于5
使用卡方检验需要注意的地方
1.如果期望计数很小时，应该避免使用卡方概率分布作为卡方统计量的抽样分布的近似，这种近似会非常弱，真实的α水平将与制表值有很大的差异。作为经验法则，单元格的期望计数至少包含5个。
2.如果卡方值没有超过已经确定的卡方临界值，只能说不能拒绝原假设，而不能说接受原假设，否则可能会犯第二类错误，且犯这种错误的概率是未知的。
3.如果卡方值确实超过已经确定的卡方临界值，我们要谨慎，避免推断两种分类变量存在因果关系，只能说这两种变量在统计意义上是相互依赖的。