频域滤波中数据分块导致的波形突变问题

概要

在滤波、相关等常用运算中，卷积实现等效到频域采用乘积实现，可以减少计算资源，频域实现需要进行数据分块，通过仿真说明分块数据交叠的影响。

滤波、时域卷积与频域乘积

生成采样速率102.4MHz，信号1频率2MHz，信号1幅度1V，信号2频率40MHz，信号2幅度同样为1V，采样点数2048点的双拼正弦叠加信号，时域波形如下图所示。

图1 双频正弦叠加信号时域波形

通过一个32阶截止频率为15MHz的低通滤波器，滤波器幅度相位响应曲线如下图所示，信号2被滤除，只保留了信号1频率。通过下述matlab代码能够得到该低通滤波器的系数。

%% 生成卷积使用的滤波器
Fs = 102.4*1e6; % 采样速率
N = 31; % 滤波器阶数
Fc = 15*1e6; % 截止频率
flag = 'scale'; % 采样Flag
% 创建窗矢量用于设计算法
win = hamming(N+1);
% 使用FIR函数计算系数
b = fir1(N, Fc/(Fs/2), 'low', win, flag);
Hd = dfilt.dffir(b);
% 查看滤波器响应
fvtool(Hd);

图2 低通滤波器幅相响应曲线

上述滤波过程可以通过时域卷积和频域乘积实现，对应到matlab程序中，可以通过滤波器函数filter()，卷积函数conv()以及fft()、点乘结合ifft()三种方式完成。前两种方式可以直接使用前述代码所得到的滤波器系数Hd.Numerator，最后频域点乘的方式需要滤波系数与数据等长，因此需要在系数前后补零以达到同数据块相同的采样长度，并通过FFT变换的频域滤波系数。

原始信号波形，以及三种滤波方式得到的滤波输出信号波形如图3所示。

图3 原始双频波形与三种滤波仿真输出波形

三种滤波方法等效，但数据长度和信号相位上有区别。filter滤波保持数据长度为2048个点，实际上前31个与滤波器长度减1一致的数据没有用，conv则保留了2048+N长度的数据，频域输出需要在前后各补一定长度数据才能得到一致的相位关系。

FFT分块实现

上述仿真采用连续的一段2048采样点数据进行，实际采样数据会持续进入处理模块，因此采用频域滤波需要分块缓存数据并分块计算。数据分块需要前后至少各交叠一个滤波器的长度，通过仿真可以大致了解交叠与不交叠的区别。假定每块数据包含256个点，整个2048个数据不交叠包含8块，交叠数据前后至少各加N，即256+62=318个采样点。滤波信号输出结果如图4所示。

图4 分块数据是否交叠得到的滤波波形

通过图4可知，不交叠数据会导致得到的滤波信号出现阶段性的跳变，这是由于在分块边界点，下一分块数据卷积运算时，没有使用到上一分块数据的末尾数据，导致卷积求和时能量有缺失，图4中不交叠数据的断点为8个，正好对应数据分为8块。当至少交叠一个滤波器阶数时，前后分块数据均参与卷积求和，因此整体信号能够连续。此外，数据跳变与采用时域卷积还是频域乘积计算无关。

小结

常用的滤波、相关、卷积等运算都涉及到一组数据的乘加运算，计算某个时间点所需要用到之前的数据长度，对应延时长度，也对应数字域的相对带宽，滤波器输出跳变问题是由于数据分块导致计算分块边界点数据时，没有用到之前分块数据的点进行卷积求和，采用数据分块交叠可以避免出现该类问题。