史宁中谈关于数学基本思想

我们把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型。

——史宁中

1.判断数学基本思想的原则

我从1994年开始关注教育，对教育作了一点哲学层面的思考。2005年承担义务教育阶段数学课程标准修订工作后，我接触了多位中小学教师和学科教学论的专家，并逐渐意识到：应当详细地研究数学的基本思想，构建切实可行的方法把这些思想体现于数学教师的日常教学；应当理顺中小学数学的脉络，使得数学教师在教学活动中有所遵循；应当清晰地阐述数学教学内容中重要知识点的内涵与外延，对于数学教师能够有所启发。

大家都觉得数学思想很重要，但是说不清道不明，有的人把数学思想列出一大串。在数学教学中，通常说的等量替换、数形结合、递归法、换元法等，可以称为数学思想方法，但不是数学基本思想。因为在述说这些概念的时候，必然要依附于某些具体的数学内容，因此这些概念在本质上是个案而不是一般。此外，这些概念也不是最基本的，比如关于等量替换，人们可以进一步追问：为什么可以在计算的过程中进行等量替换呢？这就意味着，作为一种方法，等量替换可以用其他的更为基本的原理推演出来。可见，数学基本思想是更上位的概念。为此，需要建立判断数学基本思想的原则。我们建立两条原则：

第一条原则，数学产生和发展所必须依赖的那些思想；

第二条原则，学习过数学的人应当具有的基本思维特征。

根据这两条原则，我们把数学基本思想归结为三个核心要素：抽象、推理、模型。

2.数学基本思想三要素之间的关系

数学基本思想三要素对于数学的作用以及相互之间的关系大体是这样的：通过抽象，人们把现实世界中与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学的研究对象，思维特征是抽象能力强；通过推理，人们从数学的研究对象出发，在一些假设条件下，有逻辑地得到研究对象的性质以及描述研究对象之间关系的命题和计算结果，促进数学内部的发展，思维特征是逻辑推理能力强；通过模型，人们用数学所创造的语言、符号和方法，描述现实世界中的故事，构建了数学与现实世界的桥梁，思维特征是表述事物规律的能力强。

当然，针对具体的数学内容，不可能把三者截然分开，特别是不能把抽象与推理、抽象与模型截然分开。在推理的过程中，往往需要从已有的数学知识出发，抽象出那些并不是直接来源于现实世界的概念和运算法则；在构建模型的过程中，往往需要在错综复杂的现实背景中抽象出最为本质的关系，并且用数学的语言予以表达。反之，抽象的过程往往需要借助逻辑推理；通过推理判断概念之间的关系，判断什么是命题的独立性，什么是命题的相容性，最终抽象出公理体系；在众多个案的运算过程中发现规律，通过推理验证什么是最本质的规律，最终用抽象的符号表达一般性的运算法则。因此，在数学研究和学习的过程中，抽象、推理、模型这三者之间常常是你中有我，我中有你。

抽象、推理这是大家都公认的。可能因为我的研究专业是数理统计学，所以对数学的应用有很深的体会，感觉模型思想特别重要。我们提出这三个基本思想之后，在不同场合听听大家的意见，大家都觉得不错，许多数学家也赞同。

现在我们更明确地提出：数学教学的最终目标，是要让学习者会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。而数学的眼光就是抽象，数学的思维就是推理，数学的语言就是模型。这样大家就更容易理解三个数学基本思想的意思和重要性了。

二

关于数学基本思想与数学“双基”“四基”以及数学核心素养的传承

普通高中数学课程标准所设定的核心素养的本质就是抽象、推理、模型。基于“四基”的数学教学就是基于数学核心素养的数学教学。

——史宁中

数学基本思想与数学课程标准中的“双基”“四基”、数学核心素养，是一脉相承的，基于“四基”的数学教学就是基于数学核心素养的数学教学。相对于我们的传统数学教育，数学核心素养并没有另起炉灶。这也是我们一以贯之的事情。

20世纪90年代，国家的数学教学大纲将数学思想和方法含在数学“双基”里，并对其有明确表述；《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出“四基”，将“数学基本思想”从“双基”里单独列出来，另外再加上“数学基本活动经验”，这是对“双基”的继承、发展。正在修订的普通高中数学课程标准提出的数学核心素养有6个：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析，其中前三个就是数学基本思想，后三个是传统的数学能力。

我们对数学教育，特别是基础阶段的数学教育至少应当清晰两件事情：一是不能单纯地让学生记住一些概念，掌握一些解题的技巧，要让学生形成和发展数学核心素养，特别是逻辑推理素养；二是学生逻辑推理素养的形成和发展，在本质上，不是靠教师“教”出来的，而是靠学生“悟”出来的。

虽然为了数学的严谨性，现代数学逐渐走向了符号化、形式化和公理化，但数学的教学过程却应当反其道而行之，给学生创造直观思维的机会，给学生的“悟”留有充分的时间和空间；虽然概念的表达是符号的，但对概念的认识应当是有具体背景的；虽然证明的过程是形式的，但对证明的理解应当是直观的；虽然逻辑的基础是基于公理的，但思维的过程应当是归纳的。为了实现这样的教学过程，就要求教师在数学教学活动中，更多地关心学生的思维过程，抓住数学的本质，创设合适的教学情境，提出合适的问题，启发学生独立思考或与他人进行有价值的讨论，让学生在掌握知识技能的同时，感悟数学的基本思想，积累数学思维的经验，形成和发展数学核心素养。这就是基于“四基”的数学教学，这也是未来将要提倡的基于“数学核心素养”的数学教学。

本文作者：史宁中，东北师范大学资深教授，博士研究生导师，国内著名数理统计学家和教育家，义务教育数学课程标准修订组组长，普通高中数学课程标准修订组组长，教育部中小学教材审查委员，曾任国务院学位委员会学科评议组成员、教育部科学技术委员会数理学部委员、中国概率统计学会副理事长、东北师范大学校长。