【动态规划】0-1背包Python实现

问题描述

• 给定$n$种物品和一背包，物品$i$的重量是$w_i$，其价值为$v_i$，背包的容量为$c$
• 如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大

形式化描述

• 给定$c>0$，$w_i>0$，$v_i>0(1\le i\le n)$，找出一个$n$元$0-1$向量$(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，$x_i\in \{0,1\}(1\le i\le n)$，使得$\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i\le c$，而且$\sum _{i=1}^n{v}_i{x}_i$达到最大
• $0-1$背包问题是一个特殊的整数规划问题

$$\max \sum _{i=1}^n{v}_i{x}_i\{\begin{array}{l}\sum _{i=1}^n{w}_i{x}_i\le c\\ x_i\in \{0,1\}(1\le i\le n)\end{array}$$

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最优子结构性质

• 设$(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$是所给$0-1$背包问题的一个最优解，则$(y_2,y_3,\cdots ,y_n)$是下面相应子问题的一个最优解

$$\max \sum _{i=2}^n{v}_i{x}_i\{\begin{array}{l}\sum _{i=2}^n{w}_i{x}_i\le c-w_1{y}_1\\ x_i\in \{0,1\}(2\le i\le n)\end{array}$$

• 否则，设$(z_2,z_3,\cdots ,z_n)$是上述子问题的一个最优解，而$(y_2,y_3,\cdots ,y_n)$不是它的最优解，由此可知，$\sum _{i=2}^n{v}_i{z}_i>\sum _{i=2}^n{v}_i{y}_i$，且$w_1{y}_1+\sum _{i=2}^n{w}_i{z}_i\le c$，因此$v_1{y}_1+\sum _{i=2}^n{v}_i{z}_i>\sum _{i=1}^n{v}_i{y}_i$，说明$(y_1,z_2,\cdots ,z_n)$是所给$0-1$背包问题的一个更优解，从而$(y_1,y_2,\cdots ,y_n)$不是所给$0-1$背包问题的最优解，此为矛盾

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递归关系

• 设所给$0-1$背包问题的子问题$\max \sum _{k=i}^n{v}_k{x}_k\{\begin{array}{l}\sum _{k=i}^n{w}_k{x}_k\le j\\ x_k\in \{0,1\}(i\le k\le n)\end{array}$的最优值为$m(i,j)$，即$m(i,j)$是背包容量为$j$，可选择物品为$i$，$i+1$，$\cdots$，$n$时$0-1$背包问题的最优值

$m(i,j)$递归方程

$$m(i,j)=\{\begin{array}{ll}\max \{m(i+1,j),m(i+1,j-w_i)+v_i\},& j\ge w_i\\ m(i+1,j),& 0\le j<w_i\end{array}$$

$$m(n,j)=\{\begin{array}{ll}{v}_n,& j\ge w_n\\ 0,& 0\le j<w_n\end{array}$$

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Python实现

def knapsack(weights, values, capacity):
    n = len(weights)

    # 创建一个二维数组用于保存子问题的解
    dp = [[0] * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

    # 填充二维数组
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            # 当前物品的重量大于背包容量, 无法放入背包
            if weights[i - 1] > j:
                dp[i][j] = dp[i - 1][j]
            else:
                # 考虑将当前物品放入背包和不放入背包两种情况, 选择价值最大的方案
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], values[i - 1] + dp[i - 1][j - weights[i - 1]])

    # 构造最优解
    selected_items = []

    i, j = n, capacity
    while i > 0 and j > 0:
        # 当前物品被选中
        if dp[i][j] > dp[i - 1][j]:
            selected_items.append(i - 1)

            j -= weights[i - 1]

        i -= 1

    selected_items.reverse()

    return dp[n][capacity], selected_items


weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]
capacity = 8

max_value, selected_items = knapsack(weights, values, capacity)

print('最大价值为:', max_value)
print('选中的物品索引为:', selected_items)

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